dim V < ∞. Was hat das zu bedeuten?

Question

Hallo zusammen,

mal wieder eine Frage von mir.

Gegeben ist der folgende Satz, es geht um lineare Algebra und um lineare Abbildungen:

Sei F: V → W linear und dim V < ∞.

Wie genau habe ich den hinteren Teil zu verstehen? Heißt das das die Dimension von V endlich ist? Wenn ja, dann kann es sich ja zum Beispiel nicht um reelle Zahlen handeln, oder?

Vielen Dank schonmal im voraus

Answer 1

Wie genau habe ich den hinteren Teil zu verstehen? Heißt das das die Dimension von V endlich ist? Wenn ja, dann kann es sich ja zum Beispiel nicht um reelle Zahlen handeln, oder?

Es handelt sich um einen endlichdimensionalen Vektorraum. Es gilt aber \(\dim{\mathbb{R}}=1\) und allgemeiner \(\dim \mathbb{R}^n=n\). Deswegen ist \(\mathbb{R}^3\) ja auch dreidimensional. Es kann sich nicht um unendlichdimensionale Vektorräume handeln, das meint \(\dim V<\infty\). Z. B. keine bestimmten Polynomräume.

Man kann sich das aber merken. Wenn du eine Klausur schreibst und dort Multiple-Choice-Fragen sind, werden solche Sätze, die eigentlich nur für endlichdimensionale Vektorräume gelten, ohne Verweis auf die Endlichdimensionalität formuliert. Da steht dann: "Sei V ein Vektorraum, dann ..." - und da muss man dann aufpassen. Das ist etwas gemein in den ersten Semestern, weil man sich am Anfang an die endlichdimensionalen Vektorräume mehr gewöhnt hat und die anderen sowieso schon implizit ausblendet.