Sei V ein K–Vektorraum mit dim V < ∞. Sei weiter F : V → V linear

Question

Aufgabe:

Sei V ein K–Vektorraum mit dim V < ∞. Sei weiter F : V → V
linear. Zeigen Sie:
a) Ist F2 = 0, so gilt Bild F ⊆ Kern F.
b) Es sind aquivalent:
i) Bild F = Kern F,
ii) F2 = 0 und dim V = 2 · Rang F

Answer 1

a) Ist F² = 0, so gilt Bild F ⊆ Kern F.

Sei F² = 0 . ==>  Für alle v∈V gilt F(F(v))=0. #

Sei nun w∈Bild F . ==>   Es gibt ein v∈V mit w=F(v).

==>  F(w)=F(F(v)) = 0 wegen #.

==>    w ∈ Kern F.   q.e.d.