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Hallo ich habe eine Frage bezüglich der Vollständigen Induktion

 

Ich verstehe nicht wie er auf den Ausdruck 1/4n2*(n+1)2kommt. Oder kann ich das auch irgendwie anders auflösen?

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Der Ausdruck

( 1 / 4 ) n 2 * ( n + 1 ) 2

ist die Formel für die Summe der dritten Potenzen der ersten n natürlichen Zahlen. Sein Wert ist also gleich dem Wert der ersten Klammer in der vorangehenden Zeile.

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er schreibt aber dafür eigentlich ((n+1)2+(n+2)2)/4

wie kommt er dann auf einmal auf den oben genannten Ausdruck den ich mit ? markiert habe, verstehe den Schritt den er macht nicht....

((n+1)2+(n+2)2)/4

Für was schreibt "er" diesen Ausdruck?
Sicher nicht für die Summe der dritten Potenzen der ersten n natürlichen Zahlen ...Prüfe den Auisdruck noch einmal. Ich vermute, dass er tatsächlich so aussieht:

((n+1)2 * (n+2)2)/4


Ich vermute auch, dass hier durch VI gezeigt werden soll, dass gilt:

1 3 + 2 3 + 3 3  + ... n 3  = ( 1 / 4 ) * n 2 * ( n + 1 ) 2

Ist das so?

hier ist die komplette lösung

 

Hier wird schlicht die Induktionsvoraussetzung verwendet.

Ich verstehe aber nicht wie er auf den Ausdruck 1/4n2*(n+1)2kommt.

Hier wird schlicht die Induktionsvoraussetzung verwendet.

So ist es.

Es ist das Grundprinzip der VI, dass man zunächst zeigt, dass eine Aussage A ( m ) für ein bestimmtes m gilt (Induktionsanfang).

Dann nimmt man an, dass die Aussage für irgendein n ≥ m gilt (Induktionsvoraussetzung) und zeigt unter Verwendung dieser Annahme, dass dann auch A ( n + 1 ) gilt (Induktionsschluss).

Ist das gelungen, dann ist gezeigt, dass A ( m ) gilt und damit auch A ( m + 1 ) und damit auch A ( m + 2 ) usw.

Wichtig ist, dass im Induktionsschluss die Induktionsvoraussetzung verwendet wird - und genau das hat der Autor der oben gezeigten Lösung getan.

Ich verstehe aber nicht wie er auf den Ausdruck 1/4n2*(n+1)2kommt.

Wie er auf diesen Ausdruck kommt, ist völlig gleichgültig. Irgendwie ist man zu der Vermutung gekommen, dass die Summe der dritten Potenzen der ersten n natürlichen Zahlen gleich diesem Ausdruck ist, dass also gilt:

1 3 + 2 3 + 3 3  + ... n 3  = ( 1 / 4 ) * n 2 * ( n + 1 ) 2

Und diese Vermutung soll nun durch VI bewiesen werden.

Also zeigt man zunächst, dass diese Vermutung für n = 1 gilt.

Dann nimmt man an, dass sie für ein festes n ≥ 1 gilt und zeigt nun unter Verwendung dieser Annahme, dass sie dann auch für n + 1 gilt, dass dann also auch gilt:

1 3 + 2 3 + 3 3  + ... n 3 + ( n + 1) 3 = ( 1 / 4 ) * ( n + 1 ) 2 * ( n + 2 ) 2

Die Annahme wird verwendet, indem in dieser Gleichung der Term

1 3 + 2 3 + 3 3  + ... n 3 durch ( 1 / 4 ) * n 2 * ( n + 1 ) 2

ersetzt wird, denn laut Induktionsvoraussetzung sind diese beiden Ausdrücke gleich. Die Gleichung lautet dann also:

( 1 / 4 ) * n 2 * ( n + 1 ) 2 + ( n + 1 ) 3 =  ( 1 / 4 ) * ( n + 1 ) 2 * ( n + 2 ) 2

und nun wird im weiteren Verlauf nachgewiesen, dass diese Gleichung eine wahre Aussage ist. Ist das gelungen, dann ist gezeigt, dass die ursprüngliche Behauptung:

1 3 + 2 3 + 3 3  + ... n 3  = ( 1 / 4 ) * n 2 * ( n + 1 ) 2

tatsächlich für alle n ≥ 1 gilt.

Puhhh klaro ich habs jetzt geschnallt, war irgendwie n knoten im Kopf ist mir jetzt völlig klar.
Danke noch mal für die Ausführliche Erläuterung hat mir sehr geholfen
+1 Punkt

Ich verstehe nicht wie er auf den Ausdruck 1/4n2*(n+1)2kommt. Oder kann ich das auch irgendwie anders auflösen?

Hallo Fenguli 

(1^3 + 2^3 + … + n^3) = 1/4n2*(n+1)ist bestimmt die Induktionsvoraussetzung. Die kann/muss man benutzen im Induktionsschritt.

Beantwortet von 142 k
Betrachte vielleicht den Beweis hier: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel3.htm

Das ist dasselbe.

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