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Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { 3 } = \frac { 1 } { 4 } n ^ { 2 } ( n + 1 ) ^ { 2 } \text { für } n \in \mathbb { N } $$

Prinzip ist klar, aber habe trotzdem Probleme beim Lösen.

von
……….+ n3 = ¼ n2 (n + 1)2

Handelt es sich um die Summe der ersten n Kubikzahlen? Also

1^3 + 2^3 + 3^3……….+ n^3 = ¼ n^2 (n + 1)^2

???

Ja. 13 + 23 + 33……….+ n3 = ¼ n2 (n + 1)2

1 Antwort

+2 Daumen

Induktionsanfang:

Sei n = 1

Linke Seite:

1^3 = 1

Rechte Seite:

1/4 (1+1)^2 = 1/4 * 4 = 1

Somit gilt der Induktionsanfang:

Induktionsannahme:

Sei n ∈ ℕ und \( \sum _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { 3 } = \frac { 1 } { 4 } n ^ { 2 } ( n + 1 ) ^ { 2 } \)

Induktionsschritt: z.Z. ist, dass aus n, (n+1) folgt.

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n + 1 } k ^ { 3 } = \frac { 1 } { 4 } ( n + 1 ) ^ { 2 } ( ( n + 1 ) 1 ) ^ { 2 } $$

Wir formen die linke Seite so um, dass wir unsere Induktionsannahme einsetzen können.

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { 3 } + ( n + 1 ) ^ { 3 } = \frac { 1 } { 4 } ( n + 1 ) ^ { 2 } ( ( n + 1 ) 1 ) ^ { 2 } $$

Nun können wir unsere I.A. verwenden:

$$ \frac { 1 } { 4 } n ^ { 2 } ( n + 1 ) ^ { 2 } + ( n + 1 ) ^ { 3 } = \frac { 1 } { 4 } ( n + 1 ) ^ { 2 } ( ( n + 1 ) 1 ) ^ { 2 } $$

Nun gilt es nur noch zu zeigen, dass die beiden Seite gleich sind.

$$ \frac { 1 } { 4 } n ^ { 4 } + \frac { 3 } { 2 } n ^ { 3 } + \frac { 13 } { 4 } n ^ { 2 } + 3 n + 1 = \frac { 1 } { 4 } n ^ { 4 } + \frac { 3 } { 2 } n ^ { 3 } + \frac { 13 } { 4 } n ^ { 2 } + 3 n + 1 $$

von

Könntest Du den letzten Schritt ausführlicher erklären?

Na klar. Die Umformungen sind nicht kompliziert, doch durch ihre Anzahl kann es schnell unübersichtlich werden. Zudem immer an die binomischen Formeln denken!

$$ \text { 1. Schritt: } \frac { 1 } { 4 } n ^ { 2 } \left( n ^ { 2 } + 2 n + 1 \right) + ( n + 1 ) ( n + 1 ) ( n + 1 ) = \frac { 1 } { 4 } \left( n ^ { 2 } + 2 n + 1 \right) \left( n ^ { 2 } + 4 n + 4 \right) \\ 2 . \text { Schritt: } \left( \frac { 1 } { 4 } n ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } n ^ { 3 } + \frac { 1 } { 4 } n ^ { 2 } \right) + \left( n ^ { 2 } + 2 n + 1 \right) ( n + 1 ) = \left( \frac { 1 } { 4 } n ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } n + \frac { 1 } { 4 } \right) \left( n ^ { 2 } + 4 n + 4 \right) \\ 3 . \text { Schritt: } \frac { 1 } { 4 } n ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } n ^ { 3 } + \frac { 1 } { 4 } n ^ { 2 } + n ^ { 3 } + n ^ { 2 } + 2 n ^ { 2 } + 2 n + n + 1 = \frac { 1 } { 4 } n ^ { 4 } + n ^ { 3 } + n ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } n ^ { 3 } + 2 n ^ { 2 } + 2 n + \frac { 1 } { 4 } n ^ { 2 } + n + 1 \\ 4 . \text { Schritt: } \frac { 1 } { 4 } n ^ { 4 } + \frac { 3 } { 2 } n ^ { 3 } + \frac { 13 } { 4 } n ^ { 2 } + 3 n + 1 = \frac { 1 } { 4 } n ^ { 4 } + \frac { 3 } { 2 } n ^ { 3 } + \frac { 13 } { 4 } n ^ { 2 } + 3 n + 1 $$

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