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Aufgabe:

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Problem/Ansatz:

… Der Flächeninhalt des Rechtecks ABCD ist gesucht. Die diagonale |AC| beträgt 8 Einheiten.

Mögliche Antwortmöglichkeiten: 16), 18), 20), 22), 24) [Flächeneinheiten]

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Hallo,

eine schöne Aufgabe zur Verwirrung der Schüler. Zeichne den Umkreis des Rechtecks ein und suche dann nach den Peripheriewinkeln (bzw. Umfangswinkeln)

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Da der Winkel \(\angle DKB\) (gelb) ein rechter ist, liegt \(K\) auf dem Umkreis. Und somit ist \(\angle ACD = \angle AKD = 15°\) (rot). Der Flächeninhalt \(F\) ist also$$F = 8 \sin(15°) \cdot 8 \cos(15°) = 64 \cdot \frac 14(\sqrt 6 - \sqrt 2) \cdot \frac 14(\sqrt 6+ \sqrt 2) = 16$$Gruß Werner

von 44 k

Ja für Verwirrung hat es schon gesorgt bei mir und bei meinen Mathe Kollegen :D

Verstehe aber noch nicht ganz warum man 8sin(15°) * 8cos(15°) rechnen muss

Verstehe aber noch nicht ganz warum man 8sin(15°) * 8cos(15°) rechnen muss

\(\triangle ABC\) ist ein rechtwinkliges Dreieck. Sei \(\angle BAC=\alpha\) (rot), so gilt doch $$\sin(\alpha) = \frac{|BC|}{|AC|} \implies |BC| = |AC| \cdot \sin(\alpha)\\ \cos(\alpha) = \frac{|AB|}{|AC|} \implies |AB| = |AC| \cdot \cos(\alpha)$$Und lt. Aufgabenstellung ist \(|AC| = 8\). Und dass $$F = |BC| \cdot |A{\color{red}B}|$$ist, weißt Du selber - oder?

Ist der Flächeninhalt vom Rechteck nicht Länge mal Breite?

Also Strecke AB * Strecke AD?

Ist der Flächeninhalt vom Rechteck nicht Länge mal Breite?
Also Strecke AB * Strecke AD?

Interessante Bemerkung ;-)

Ja sicher! ... und im Rechteck gilt außerdem \(|AD| = |BC|\)

Und warum rechnest du dann Strecke AC * Strecke BC?

Und warum rechnest du dann Strecke AC * Strecke BC?

Oh je .., sag' doch gleich, dass mir ein Tippfehler passiert ist ;-)

Ich habe es korrigiert (s.o.)

Und dann kommt 26 als Ergebnis raus oder?

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Habe die Seiten auch mal nachgemessen und wenn man das Verhältnis überträgt, kommt ungefähr 26 raus.

Habe die Seiten auch mal nachgemessen

hast Du die Winkel \(15°\) und \(90°\) auch nachgemessen?

meine Zeichnung sollte massstabsgeteu sein!

Oben rechts kommt ein Winkel von 65° raus.
Ist diese Zeichnung also nicht maßstabsgetreu?
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Besser Du zeichnest es selber noch einmal. Zeichne die Strecke von 8cm und an einen der Eckpunkte einen Winkel von 15°. Halbiere die Strecke und zeichne den Umkreis usw.

hast Du die Winkel [...] und \(90°\) auch nachgemessen?


Einen Winkel von 90° braucht man ja nicht nachmessen...

Wie lang ist denn die Seite AB und AC?

Einen Winkel von 90° braucht man ja nicht nachmessen...

ich meine den Winkel \(\angle DKB\), der als 90°-Winkel gekennzeichnet ist. Der ist aber etwas kleiner als 90°! Das kann aber auch daran liegen, dass Du die Kamera beim Fotographieren nicht ganz parallel zum Papier gehalten hast.

Wie lang ist denn die Seite AB und AC?

steht oben: $$|AB| = |AC| \cdot \cos(15°) = 8 \cdot \frac14(\sqrt 6 - \sqrt 2)$$usw. - ist aber sinnlos, das im Taschenrechner einzugeben. Besser Du multiplizierst das vorher mit \(|BC|\). Dann braucht man den TR nicht mehr!

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