Schreiben Sie alle normierten Polynome vom Grad höchstens 3 in Z3[x] hin. Unterschtreichen Sie die reduzible Polynome.

Question

Schreiben Sie alle normierten Polynome vom Grad höchstens 4 in Z₂[x] hin. Unterschtreichen Sie die reduzible Polynome.

Answer 1

Die Regel: "ein Polynom höchstens dritten Grades ist genau dann

reduzibel, wenn es eine Nullstelle im Koeffizientenkörper besitzt"

ilässt sich nicht auf Polynome 4-ten Grades übertragen:

So besitzt zwar $X^4+X^2+1$ keine Nullstelle in $\mathbb{Z}_2$,

,ist aber dennoch reduzibel:$X^4+X^2+1=(X^2+X+1)(X^2+X+1)$.

Nützlich könnte allgemein die Regel $(a+b)^2=a^2+b^2$ sein, die gilt, da hier

$2=0$ ist.

Insgesamt gibt es $2^4=16$ normierte Polynome höchstens 4-ten Grades.

Comments

Nicht $2^5=32$ ?

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Nein. Wegen der Normiertheit.

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Sind $0$ und $1$ in $\mathbb{Z}_2\left[x\right]$ nicht normiert?

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Doch durchaus.

Ein normiertes Polynom ist eines mit Leitkoeffizient 1 oder

das Nullpolynom (cum granu salis ;-))

Oh, ich ahne, dass ich darüber nochmal nachdenken muss!

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Sorry, ich gebe dir Recht.
Also $2^5=32$.
Habe aus Versehen nur die Polynome genau 4-ten Grades
"gezählt".

Answer 2

Was genau meinst du?

Comments

Ich meine, für Polynome p höchstens 4-ten Grades gilt:

p ist reduzibel genau dann, wenn p eine Nullstelle im Koeffizientenkörper hat

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Das ist leider falsch.

$X^4+X^2+1$ besitzt keine Nullstelle im Koeffizientenkörper,

ist aber dennoch reduzibel:

$X^4+X^2+1=(X^2+X+1)(X^2+X+1)$.