Kurvendiskussion für ln-Funktion

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

10. Gegeben sei die Funktion $f(x)=2 x \cdot \ln \sqrt{x}, x>0$.
a) Bestimmen Sie $f^{\prime}$ und $f^{\prime \prime}$.
b) Untersuchen Sie f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.
c) Untersuchen Sie, wie sich $f(x)$ und $f^{\prime}(x)$ verhalten, wenn $x$ gegen 0 strebt.
d) Skizzieren Sie den Graphen von f für $0<x \leq 3$.
e) Zeigen Sie, dass $F(x)=x^{2} \cdot \ln \sqrt{x}-\frac{1}{4} x^{2}+C$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
f) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die im 4. Quadranten von dem Graphen von $f$, der $\mathrm{x}$-Achse und der senkrechten Geraden durch den Tiefpunkt von $\mathrm{f}$ umschlossen wird.
g) In welchem Punkt P hat der Graph von $f$ eine Tangente, die parallel zur Winkelhalbierenden des 1. Quadranten ist? In welchem Punkt Q ist die Kurventangente parallel zur Winkelhalbierenden des 4. Quadranten?
h) Wo schneiden sich die beiden Tangenten aus g)?

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?

Ich scheiter schon bei den ableitungen und der Nullstelle

Danke im voraus

Answer 1

a)

f(x) = 2·x·LN(√x) = x·LN(x)
f'(x) = LN(x) + 1
f''(x) = 1/x

Comments

Wie kann man dass zu x*lnx schreiben?

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Für die Nullstelle hab ich jetzt x=1, für das extrema x=e^-1 und kein Wendepunkt

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Wie kann man dass zu x*lnx schreiben?

Logarithmengesetz: log a^r = r * log a.

Hier ist r=0,5.

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Für die Nullstelle hab ich jetzt x=1, für das extrema x=e^-1 und kein Wendepunkt

Das sieht sehr gut aus.