Zeigen Sie ,dass für zwei Abbildungen f: A → B und g: B→ C folgendes gilt :

Question

Aufgabe: Zeigen Sie ,dass für zwei Abbildungen f: A → B und g: B→ C folgendes gilt :

(i) g ∘ f injektiv ⇒ f injektiv ;

(ii) g ∘ f surjektiv , g injektiv ⇒ f surjektiv.

* Verkettungszeichen ∘

…

Problem/Ansatz:

Hallo : )) Ich verstehe was injektiv, surjektiv bedeutet.. aber  bei dieser Aufgabe komme ich leider überhaupt nicht weiter. Ist das eine Aufgabe wo man etwas beweisen soll?  Wie genau zeigt man sowas Schritt für Schritt ?

Vielen Dank !

Answer 1

Ist das eine Aufgabe wo man etwas beweisen soll? Ja, merkt man an

"Zeigen Sie ... "

Bei   g ∘ f injektiv ⇒ f injektiv  

ginge das wohl so:

Es ist zu zeigen  :   f injektiv

und man kann ausgehen von    g ∘ f injektiv

d.h. nach der Def. von injektiv:

Für alle a,b ∈ A gilt : Wenn (  g ∘ f )(a) =   (g ∘ f)(b)

                         dann hat das zur Folge a=b .             #

Und um "   f injektiv " zu beweisen, musst du prüfen, ob gilt:

Wenn für a,b ∈ A gilt :   f(a)=f(b) , dann muss auch gelten a=b.

Seien also a,b ∈ A   mit    f(a)=f(b)

Da g eine Abbildung auf B ist und f(a) und f(b) aus B sind ,

gilt    g(f(a)) = g(f(b))  [Eindutigekeit der Abbildung]

Damit hast du aber gerade die Vor. in # (s.o.) erfüllt,

und somit gezeigt   a=b.            q.e.d.

Answer 2

Zu (ii):

Sei \(b\in B\). Da \(g\circ f\) surjektiv ist, gibt es \(a\in A\) mit

\(g(f(a))=(g\circ f)(a)=g(b)\). Die Injektivität von \(g\) liefert

\(f(a)=b\). Damit besitzt \(b\) ein Urbild in \(A\) unter \(f\).

Also ist \(f\) surjektiv.