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Hey Leute, ich lerne fürs Abi und schaue mir daher alte Klassenarbeiten eines älteren Kurses nochmal an. Jetzt bin ich bei Aufgabe 2 und 3 und ich komme nicht weiter. Die Lösung zu diesen Aufgaben fehlt mir, sowie auch bei allen anderen.

Könnte mir jemand den Ansatz erklären, bzw. einen Lösungsweg vorschlagen ?

Danke

image.jpg

Text erkannt:

Stelle 1 den Funktionswert \( -2 \) hat.
b) Berechnen Sie das Integral
\( \int \limits_{1}^{4} \frac{1}{(2 x-1)^{2}} d x \)
2. In Bild \( 317 / 5 \) ist ein Graph der Funktion \( \mathrm{f} \) dargestellt mit
\( \mathrm{f}(0)=0,75 \) und \( \mathrm{f}(-1,75)=0 \). Außerdem ist ein Intervall
[a;x] gekennzeichnet, mit \( =-3,5 \).
a) Bestimmen Sie die zugehörige Integralfunktion und
zeichnen Sie ihren Graphen.
b) Vergleichen Sie das Verhalten der Integralfunktion mit
dem der Integrandenfunktion. \( (x) \) ( \( x) \)
3. Gegeben ist die Funktion \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{9+x}{3 x^{2}} \)
a) Führen sie eine Kurvendiskussion durch (Definitionsmenge, Asymptote, Polstellen, Symmetrie, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte) und skizzieren sie an Hand ihrer Ergebnisse den Graphen.
b) Der Graph von \( f \) schließt mit der zugehörigen Asymptote und den Geraden \( x=2 \) und \( \mathrm{x}=\mathrm{k}(\mathrm{k}>2) \) ein Flächenstück ein.
b1) Berechnen Sie dessen Inhalt \( \mathrm{A}(\mathrm{k}) \) in Abhängigkeit von \( \mathrm{k} \).
b2) Wie verhält sich der Flächeninhalt für \( \mathrm{k} \rightarrow \infty \) ?
b3) Sei nun \( \mathrm{k}<2 \). Untersuchen sie die unbegrenzte Fläche auf einen endlichen
Flächeninhalt.

von

Bei (3) soll eine Kurvendiskussion gemacht werden. Das ist viel Tipparbeit. Du erhöhst daher die Chancen auf eine gute Antwort, wenn du deine beiden Fragen in 2 Threads aufteilst.

Sorry ich meinte den Ansatz zu 3 b). Die Kurvendiskussion verstehe ich.

ich meinte den Ansatz zu 3 b)

Die Asymptote ist für \(2\le x\) die X-Achse. Somit ist doch sicher die grün markierte Fläche gemeint.


Aber ich verstehe nicht, wie ich jetzt ein passendes integral dafür aufstelle ? Und muss die asymtote die x Achse sein, da hier die DEF Lücke vorliegt ? Muss ich dann die erste Nullstelle als Grenze nehmen und für die Grenze k nehmen ? Das verstehe ich nicht ganz ? Und dann gilt wieder das integral in betragsstrichen von f(x) über 0 bis k(>2) ?

Aber ich verstehe nicht, wie ich jetzt ein passendes integral dafür aufstelle ?

Integriere von \(2\) bis \(k\) - was sonst? $$A(k)=\int_{2}^{k}\frac{9+x}{3x^{2}}\,dx$$streng genommen für die Asymptote dann noch \(0\) abziehen ...


Und muss die asymtote die x Achse sein, da hier die DEF Lücke vorliegt ?

Eine Definitionslücke hat mit einer Asymptote nichts zu tun. Die Definitionslücke ist \(x=0\), da der Term \(3x^2\) im Nenner des Bruches steht. Und die Asymptote ist \(y=0\) da $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{9+x}{3x^{2}}= 0$$

Muss ich dann die erste Nullstelle als Grenze nehmen und für die Grenze k nehmen ?

Nein nicht die erste Nullstelle, sondern \(x=2\) für die linke Grenze und \(k \ge 2\) für die rechte Grenze, so wie im Aufgabenteil b) beschrieben.

Das verstehe ich nicht ganz ?

Was genau verstehst Du an der grünen Fläche in dem Bild nicht, welches ich Dir in meinem letzten Kommentar gepostet habe ??


Und dann gilt wieder das integral in betragsstrichen von f(x) über 0 bis k(>2) ?

Da \(f(x) \gt 0\) für alle \(x \gt 0\) kann man sich die Betragsstriche in jedem Fall sparen.

Weiß bedeutet 0 Abziehen für die Asymtote ? Der Begriff ist ja rot unterstrichen, also muss er irgendetwas bedeuten würde ich behaupten.

Ok das Aufstellen habe ich verstanden, in Abhängigkeit von k heißt dann einfach nur

A(k) = Integral von F(x) von 2 bis k . Dann müssten ja noch k‘s im Nenner stehen. Das bedeutet dann die Abhängigkeit ?

Bei ihrer Skizze verstehe ich nicht, was der Rote Graph sein soll. Hier geht es doch nur um die Fläche des blauen mit der X Achse über 2 bis unendlich(k) ?

Bei ihrer Skizze verstehe ich nicht, was der Rote Graph sein soll.

Oh ! - das ist der Graph von $$f(x)= \frac{9+x}{3x^2}$$Zeichne es Dir doch mal auf!

Hier geht es doch nur um die Fläche des blauen mit der X Achse über 2 bis unendlich(k) ?

Nein - der blaue Graph ist der Graph einer Stammfunktion von \(f(x)\), deren Nullstelle ich auf \(x=2\) gelegt habe. Damit ist sie der Graph der Funktion \(A(k)\)


Was bedeutet 0 Abziehen für die Asymtote ?

Nehmen wir mal an, die Funktion würde lauten$$f(x)= \frac{18+2x+x^{3}}{6x^{2}}$$dann ist die (zugehörige!) Asymptote, nämlich die Asymptote, die für den Bereich \(x \gt 2\) relevant ist, diese Asymptote (schwarz s.u.) wäre dann $$y=\frac x6$$Und die gesuchte Fläche sähe so aus:


Und die Fläche \(A(k)\) berechnet sich dann aus$$A({k})=\int_{2}^{k}f\left(x\right)dx-\int_{2}^{k}\frac{x}{6}dx$$Ist es aber nicht. Hier ist die Asymptote \(y=0\) und \(\int 0 \,\text dx =0\)


Der Begriff ist ja rot unterstrichen, also muss er irgendetwas bedeuten würde ich behaupten.

Wer hat es denn unterstrichen? Die Farbe des Stiftes ist die gleiche, die für die Bewertung benutzt wurde. Vielleicht hat da jemand die falsche Asymptote angenommen!

Ok das Aufstellen habe ich verstanden, in Abhängigkeit von k heißt dann einfach nur
A(k) = Integral von F(x) von 2 bis k . Dann müssten ja noch k‘s im Nenner stehen. Das bedeutet dann die Abhängigkeit ?

Das Maß für die (oben grün dargestellte) Fläche \(A(k)\) ist von \(k\) abhängig. Mit wachsendem \(k\) wächst auch die Fläche an. Das bedeutet 'abhängig'.

Und ja - das \(k\) steht bei der Stammfunktion auch im Nenner, aber nicht nur dort!

Das verstehe ich jetzt. Vielen Dank. Hättest du auch einen Ansatz für die Nummer 2 ?

Ich hätte mit einem steigungsdreieck m ausgerechnet. Wie würdest du das machen um die Funktion erstmal auszurechnen ? Wenn ich diese dann errechnet habe, berechne ich das integral über a = -3,5 bis x und dann habe ich meine Integralfunktion oder ? Und wie wäre dann das Verhalten der Integralfunktion mit dem der normalen Funktion f?


Vielen Dank dir schonmal für die Mühe

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo Paulino,

Hättest du auch einen Ansatz für die Nummer 2 ?

Ok - dann wird das nun eine Antwort für den Aufgabenteil 2.:

Ich hätte mit einem steigungsdreieck m ausgerechnet. Wie würdest du das machen um die Funktion erstmal auszurechnen ?

Ja - natürlich! Die dargestellte Funktion ist ja nichts anderes wie eine Gerade. Und jede Gerade bzw. lineare Funktion hat die Form$$f(x)=mx + f(0)$$Das Steigungsdreieick gibt den Wert für \(m\)$$m = \frac{0,75 - 0}{0 - (-1,75)} = \frac 37$$das \(f(0)\) ist schon gegeben also$$y = \frac 37 x + \frac 34$$zu a) die Integralfunktion für das Intervall \([a;\,x]\) ist $$F(x)= \int\limits_{a}^{x} \frac 37 x + \frac 34\,\text dx = \left.\frac 3{14} x^2 + \frac 34x \right|_{a=-7/2}^x = \frac 3{14} x^2 + \frac 34x$$und so sieht das aus:


und den Ausdruck Integrandenfunktion habe ich noch nie gehört. Was verstehst Du denn dadrunter?

Gruß Werner

von 44 k

... Antwort korrigiert. Sie war noch unvollständig

Danke dir, dann stimmen wir hier auf jeden Fall technisch überein. Ich weiß es auch nicht genau, auf jeden Fall steht daneben dass die integrandenfunktion f(x) ist. Also muss man F(x) mit f(x) vergleichen. Habe nur keine Idee wie man es mathematisch irgendwie erklären könnte.

... steht daneben dass die integrandenfunktion f(x) ist

Ja stimmt - ich habe es gerade nachgeschaut. Es ist die Funktion hinter (bzw. unter) dem Integral.

Habe nur keine Idee wie man es mathematisch irgendwie erklären könnte.

die Aufgabe lautet:

b) Vergleichen Sie das Verhalten der Integralfunktion mit dem der Integrandenfunktion.

Verschiebe doch oben im Bild den Punkt \(A\) mit der Maus. Es wird immer der Funktionswert der 'Integralfunktion' angezeigt. Was fällt Dir auf, wenn Du den mit der grünen Fläche unter der Integrandenfunktion \(f(x)\) vergleichst?

Tipp: Eine Fläche unterhalb der X-Achse zählt negativ.

Achso, also ist der Wert der Integralfunktion im Punkt immer gleich dem Wert des Flächeninhalts f(x) oder verstehe ich es falsch ?

Achso, also ist der Wert der Integralfunktion im Punkt immer gleich dem Wert des Flächeninhalts f(x) oder verstehe ich es falsch ?

Das verstehst Du richtig. Genauer: Der Wert der Integralfunktion des Intervalls \([a;\,x]\) (der blaue Graph) an der Stelle \(x\) ist identisch mit der Fläche (grün im Bild) unter(!) \(f(x)\) im gleichen Intervall.

Wobei - nicht vergesen - Fläche unterhalb der X-Achse zählt negativ.

Perfekt, danke.

Ich habe hier noch die vierte Aufgabe bei der du mir bestimmt auch noch kurz den Lösungsweg beantworten könntest.

A) ist ja eine Kurvendiskussion

Nur b,c und e und f verstehe ich nicht ganz. Die ortskurvenberechnung bereitet mir immer wieder Probleme.

Danke dirimage.jpg

Text erkannt:

und \( x=k(k>2) \) ein Flächenstück ein.
b1) Berechnen Sie dessen Inhalt \( \mathrm{A}(\mathrm{k}) \) in Abhängigkeit von \( \mathrm{k} \).
\( f(x)=\frac{9+x^{3}}{3 x^{2}} \), b2) Wie verhält sich der Flächeninhalt für \( k \rightarrow \infty \) ?
b3) Sei nun \( k<2 \). Untersuchen sie die unbegrenzte Fläche auf einen endlichen Flächeninhalt.
4. Gegeben ist die Funktionenschar \( \mathrm{f}_{\mathrm{k}} \mathrm{mit} \mathrm{f}_{\mathrm{k}}=-\frac{1}{k^{2}} x^{3}+x, k \in \mathrm{R} \quad-\frac{1}{k} \frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{k}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3} k}+\frac{k^{2}}{\sqrt{3}} k \)
a) Führen Sie eine Kurvendiskussion durch und skizzieren Sie die Graphen von \( \mathrm{f}_{1}, \mathrm{f}_{2} \quad 7 / \mathbb{1} \frac{k^{2}}{\sqrt{3}} \) und \( \mathrm{f}_{3} \) an Hand ihrer Ergebnisse.
b) Bestimmen Sie die Ortslinie der Tiefpunkte (zum Vergleich: \( \mathrm{x}_{\mathrm{TP}}=\frac{-k}{\sqrt{3}} \) ).
t ) Die Tangente an den Tiefpunkt, der Graph und die \( x \) - Achse schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \( \mathrm{k} \).
d) Begründen sie, dass die Gerade \( y=x \) nicht zur Funktionenschar \( f_{k} \) gehört, jedoch als Grenzfall der Schar aufgefasst werden kann.
e) Die Tangente an die positive Nullstelle (zum Vergleich: \( x_{N}=k \) ), die Gerade \( y=x \) und die \( x \)-Achse bilden ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt \( A(k) \) in Abhängigkeit von \( \mathrm{k} \).
f) Welche Beziehung besteht zwischen den beiden Parametern \( \mathrm{k}_{1} \) und \( \mathrm{k}_{2} \), wenn der Flächeninhalt des Dreiecks (zum Vergleich: \( \mathrm{A}(\mathrm{k})=\frac{5}{27} k^{2} \) ) \( \frac{1}{135} \) des Flächeninhaltes der Fläche, die vom Graphen und der positiven \( x \)-Achse eingeschlossen wird, ist?

.. bestimmt auch noch kurz den Lösungsweg beantworten könntest.

meinst Du nicht, dass dies ein Widerspruch ist zu:

Nur b,c und e und f verstehe ich nicht ganz

;-) mache bitte hier im Forum 'ne neue Frage auf. Und lese bitte alles noch mal durch und korrigiere es ggf., bevor Du die Frage abschickst

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