Welches Grenzwechselverhalten wird sich langfristig einstellen?

Question

Aufgabe:

       a         b          c

zu a  70%   10%   10%

zu b  20%   80%   30%

zu c  10%   10%   60%

Die Aufgabe lautet:

Welches Grenzwechselverhalten wird sich langfristig einstellen?

Was ist ein Grenzwechselverhalten und was bedeuten die Werte die dann im Ergebnis stehen

Comments

Hallo

zu was ist denn das Grenzwertverhalten gesucht?

lul

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zur obigen matrix (A)

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Es ist wohl der Grenzwert eines Austauschprozesses gefragt, wobei die Austauschtabelle gegeben ist?

ich dir mal https://www.studysmarter.de/schule/mathe/analysis/austauschprozesse/

an

lul

Answer 1

Eigentlich ist denke ich nur das Grenzverhalten im Unendlichen gesucht. Also ein stabiler Grenzzustand der sich nicht mehr ändert.

0.7·a + 0.1·b + 0.1·c = a
0.2·a + 0.8·b + 0.3·c = b
0.1·a + 0.1·b + 0.6·c = c

sowie

a + b + c = 1

Löse das Gleichungssystem. Ich komme auf a = 0.25 ∧ b = 0.55 ∧ c = 0.2

Langfristig befinden sich 25% im Zustand 1, 55% im Zustand 2 und 20% im Zustand 3. Diese Verteilung wird sich auch im nächsten Schritt nicht ändern und stabil bleiben.

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Danke Ihnen !!!

Answer 2

Aloha :)

Wenn der Gleichgewichtszustand $\vec g$ erreicht ist, ändert die Anwendung der Transformationsmatrix diesen Gleichgewichtszustand nicht mehr. Formal heißt das:$$\begin{pmatrix}0,7 & 0,1 & 0,1\\0,2 & 0,8 & 0,3\\0,1 & 0,1 & 0,6\end{pmatrix}\cdot\vec g=\vec g$$

Wir suchen also den Eigenvektor $\vec g$ zum Eigenwert $\lambda=1$. Dass die Matrix den Eigenwert $\lambda=1$ hat, ist klar, weil die Summe in jeder Spalte gleich $1$ ist. Wir bestimmen den Eigenvektor $\vec g$:$$\begin{pmatrix}0,7 & 0,1 & 0,1\\0,2 & 0,8 & 0,3\\0,1 & 0,1 & 0,6\end{pmatrix}\cdot\vec g-\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\vec g=\vec 0\implies\left(\begin{array}{rrr}-0,3 & 0,1 & 0,1\\0,2 & -0,2 & 0,3\\0,1 & 0,1 & -0,4\end{array}\right)\cdot\vec g=\vec 0$$

Die Lösung des Gleichungssystems liefert: $\quad\vec g=(0,25|0,55|0,2)^T$.

Comments

danke ;) ⠀⠀⠀⠀ ⠀⠀⠀⠀