Polynome in lineare und quadratische Faktoren zerlegen - Frage

Question

Gegeben sei folgendes Polynom: x⁴ - 2x³ + 2x² - 2x + 1

Folgendes habe ich gemacht:

x⁴ - 2x³ + 2x² - 2x + 1 davon die Nullstelle durch Probieren erraten. Eine Nst. ist x = 1. Also haben wir für die Polynomdivision das linke Polynom geteilt durch (x-1). Nach der Teilung komme ich auf x³ - x² + x - 1.

Frage:

Wieso wird dann anschließend in den Lösungen folgendes gemacht: (x-1) * (x³ - x² + x - 1) = (x-1) * (x² * (x-1)+(x-1)) = (x-1)² * (x² + 1)  ?

In den Lösungen steht auch, dass meine Polynomdivision hätte durchführen können (was ich auch gerne tun würde).

Ich hab's folgendermaßen probiert: (x³ - x² + x - 1) : (x-1) = x² + 1

Ich komme nur auf x² + 1, müsste aber auf (x-1)² * (x² + 1) kommen. Was habe ich falsch gemacht?

Answer 1

Willkommen in der Mathelounge,

du hast nichts falsch gemacht. Da du zweimal durch (x-1) dividieren konntest, ist bei x = 1 eine doppelte Nullstelle, also ist der Faktor $(x-1)^2$. Mit dem Ergebnis deiner zweiten Division ergibt es die angegebene Lösung

$(x-1)^2\cdot(x^2+1)$.

Bei dem alternativen Lösungsweg wurde $x^2$ aus $x^3-x^2$ausgeklammert.

Melde dich, falls du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Hallo Silvia,

du hast aus Versehen $(x^2+1)^2$ statt $(x^2+1)$ geschrieben.

Gruß ermanus

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Danke, das werde ich sofort ändern.

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Bei dem alternativen Lösungsweg wurde x2x^2 aus x3−x2  x^3-x^2ausgeklammert.

Hall und danke für die ausführliche Antwort. Ich verstehe noch nicht ganz, was nach diesem Zitat gemacht wurde.

Danach kommt ja (x-1)² * (x² + 1). Und wie kommt man darauf?

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$(x^{4}-2 x^{3}+2 x^{2}-2 x+1):(x-1)=x^3-x^2+x-1\\ (x-1)\cdot (\blue{x^3-x^2}+x-1)={(x-1)}\cdot ((\blue{x^2\cdot {(x-1)}})+(x-1))\\ \text{ausmultiplizieren}\\ (x-1)\cdot x^2\cdot (x-1)+(x-1)\cdot(x-1)\\ =x^2\cdot (x-1)^2+(x-1)^2\\ (x-1)^2\text{ ausklammern}\\ (x-1)^2\cdot (x^2+1)$

Answer 2

x⁴ - 2·x³ + 2·x² - 2·x + 1 = 0

erste Nullstelle durch raten bei x = 1, dann Polynomdivision bzw. Horner Schema

(x⁴ - 2·x³ + 2·x² - 2·x + 1) / (x - 1) = x³ - x² + x - 1

x³ - x² + x - 1 = 0

Noch eine Nullstelle durch raten bei x = 1, dann Polynomdivision bzw. Horner Schema

(x³ - x² + x - 1) / (x - 1) = x² + 1

x² + 1 = 0

Jetzt gibt es keine rellen Nullstellen mehr. Im Komplexen hätten wir jetzt noch 2

x² + 1 = 0
x² = -1
x = -i oder x = i

Damit wäre eine Faktorzerlegung

x⁴ - 2·x³ + 2·x² - 2·x + 1 = (x - 1)²·(x² + 1) im Reellen

oder sogar

x⁴ - 2·x³ + 2·x² - 2·x + 1 = (x - 1)²·(x + i)·(x - i) im Komplexen