Ungenauigkeiten beim Bogenmaß eines Kreises

Question

Aufgabe:

habe jetzt den ersten Wert für die Bogenlänge des ersten Teilkreises der Ellipse berechnet, leider ist diese viel zu groß, ohne daß mir da ein Rechenfehler aufgefallen wäre…

Problem/Ansatz:

zum Bild: beta=pi/4 galt für die in acht Teile zerlegte Ellipse

hatte auf meiner Website: http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Ellipse.html
einen Wert für die Bogenlänge B₁= 4,57507 ermittelt und auch der war schon zu groß, wenn auch geringfügig
bin mit meinem Latein am Ende....
PS: habe heute schon meine kleine Freundin getroffen und ein Bier getrunken, Vormittag!!!!!!!!!!!!! Nicht daß Ihr denkt, ich kündige Sachen an, die ich dann nicht einhalte....!Viele Grüße, Bert Wichmann!

Comments

Und was ist Deine Frage?

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Wenn du wieder nüchtern bist, könntest du vielleicht mal genau beschreiben, was der Winkel \(\beta\) ist? Was hat die Kreismitte damit zu tun? Warum ist die Mitte nicht im Ursprung?... Sprich, eine genaue Aufgabenstellung wäre hilfreich. Meine Glaskugel ist in Inspektion.

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meine Frage ist warum die Bogenlängen vom Kreissektor und die Bogenlänge, die ich über die Ellipse berechnet habe, auf meiner Website, nicht übereinstimmen, B₁

ß ist der Winkel, der zwischen den beiden Geraden steht, also y=0 und der Orthogonalen von der einen "Bogensekanten", in deren Mitte, hier im Bild

der Ursprung des Kreis- ,Ellipsenteilbogens kann nicht im Ursprung sich befinden, da die Ellipse, deren Mitte sich im Ursprung befindet aus zwei unterschiedlichen Kreissektoren besteht, im Viertel des Koordinatensystems

viele Grüße, Bert Wichmann!

Answer 1

Hallo
du kannst über einer Strecke viele "Bögen " zeichnen, die alle keine Kreisbögen sind. Warum sollten sie Kreisbögen sein, dann bestünde eine Ellipse ja aus einer kleinen Anzahl von Kreisbögen, die man nur addieren müsste, dasselbe für jede gekrümmte Kurve. Niemand mehr würde ein schwieriges Kurvenintegral ausrechnen. Mit deinem Programm kannst du ja auch den Kreis mit deinen Mittelpunkt (der nicht begründet ist) einzeichnen und bei genügender Vergrößerung die Abweichung sehen.
lul

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Den Kreismittelpunkt habe ich berechnet!

Die beiden Ellipsenbogenflächen A und B, die von der jeweiligen Sekante begrenzt werden, siehe Link, sind gleichgroß und dies ist wichtig, wie bei einem Kreis symmetrisch(!)!

Viele Grüße, Bert Wichmann!

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Dass die 2 Flächen gleich sind  (aber nicht symmetrisch) war klar, was hat das mit der Bogenlänge zu tun?

was bedeutet dein "wie bei einem Kreis symmetrisch(!)!"

lul

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symmetrisch: lassen sich in zwei gleichgroße, gespiegelte Teile jeweils aufteilen

wenn sie symmetrisch sind, kann ich sie einzeln jeweils wie bei einem Kreis behandeln....

es sind zwei unterschiedliche Kreissektoren, die bei einer Ellipse aneinandergereiht sind....., ich weiß dies ist sehr komisch, kann aber auch nichts dafür

es muß bei einem so einfachen geometrischen Körper eine einfache Lösung für die Bogenlänge geben...

so, daß war es, einen schönen Abend, viele Grüße, Bert Wichmann!

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Hallo

Warum ist eine Ellipse ein so einfacher geometrischer Körper? Warum muss es für alles eine "einfache" Lösung geben? Dass die 2 Teile nicht symmetrisch sind sondern nur flächengleich siehst du eigentlich an deiner Zeichnung! Eine Ellipse kann man nicht in Kreissektoren teilen.

lul

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symmetrisch: lassen sich in zwei gleichgroße, gespiegelte Teile jeweils aufteilen

nur weil die beiden Flächen unter dem blauen und unter dem roten Bogen gleich groß sind, müssen sie deshalb noch lange nicht symmetrisch sein. Sie sind es nicht!

wenn sie symmetrisch sind, kann ich sie einzeln jeweils wie bei einem Kreis behandeln....

Selbst wenn sie symmetrisch wären, kann man nicht darauf schließen, sie wie einen Kreis zu behandeln. Parabeln und Rechtecke sind symmetrisch, aber enthalten keine Kreisbögen.

es muß bei einem so einfachen geometrischen Körper eine einfache Lösung für die Bogenlänge geben...

Die Bogenlänge einer Ellipse mündet in die Lösung eines sogenannten Elliptischen Integrals. Zitat aus WIkipedia:

"Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen"

Ein Kreis ist noch einfacher, und trotzdem ist \(\pi\) keine rationale Zahl, noch nicht einmal eine algebraische Zahl. Und es war eine ganze Menge mehr an Mathematik erforderlich, den Umfang eines Kreises zu berechnen, als z.B. den irgendeines Polygons. Einfach geht anders ...

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ich sag mal: sobald ein Bogen symmetrisch geteilt werden kann, ist es ein Kreisbogen

ich habe den roten und blauen Kreisbogen getrennt als symmetrisch teilbar beschrieben

muß allerdings sagen, daß Ihr mir diesmal wirklich geholfen habt mit dem Bild der Darstellung der Ellipse getrennt durch pi/4

hatte das zwar im Komplexen berechnet, die Flächengleichheit, aber die Symmetrie war da noch nicht absehbar, roten und blauen Bogen getrennt

....und bitte, wo kommen meine Rechenfehler her, kann sie mir nicht erklären.....!

die Werte sind doch alle zu groß, sowohl bei dem Link, als auch hier auf dem Bild!!!

Viele Grüße und nochmals ein Dankeschön, Bert Wichmann!

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ich sag mal: sobald ein Bogen symmetrisch geteilt werden kann, ist es ein Kreisbogen

das stimmt schlicht nicht! ein Parabelbogen kann symmetrisch sein (zum Scheitelpunkt), ist aber kein Kreisbogen.

ich habe den roten und blauen Kreisbogen getrennt als symmetrisch teilbar beschrieben

betrachtet man den roten (also im Bild rechten) Ellipsenbogen, so ist dieser ebenfalls nicht symmetrisch, solange die Ellipse nicht zum Kreis mutiert. Anbei ein Desmos-Script, um das zu verdeutlichen:

Wenn der rote Bogen symmetrisch wäre, so müssten seine Endpunkte symmetrisch zu einander liegen und folglich wäre die grüne gestrichelte Linie die gemeinsame Symmetrieachse (Achsensymmetrie vorausgesetzt). Jetzt schiebe mal den Mittelpunkt des blauen Kreises auf der grünen Achse hin und her (ist im Bild mit der Maus möglich). Der Kreisbogen zwischen besagten Endpunkten wird nie mit dem rotem Bogen der Ellipse zur Deckung kommen.

Und da sich der rote Ellipsenbogen nach links hin unterhalb und nach rechts oberhalb des Kreisbogens befinden kann, ist der Ellipsenbogen in sich auch sicher nicht symmetrisch.

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@Werner S.

Danke, schöne Demo ! ich hoffe das überzeugt!

Gruß lul

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Das ist doch nie eine Ellipse! Hättet Ihr mal mein Beispiel genommen mit a=8 und b=5!

Sieht ziemlich dilletantisch aus.....! Aber na, ja, habe mir auf Eurem Forum ja auch einige "Böcke" geleistet!

Einen schönen Abend, Bert Wichmann!

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Das ist eine Ellipse. Darum hat Werner-Salomon geschrieben, dass es eine Ellipse ist.

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Ich bleibe dabei, 2 Kreise, pi/4 muß sich verschieben.....!

Ich weiß selber, daß dies keine Diskussionsgrundlage ist......!

Werde mich melden, wenn ich ein Ergebnis liefern kann!

Viele Grüße, Bert Wichmann!

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Hallo

Werner S. hat die Ellipse mit b=2 a=8 gezeichnet, und dir nett gezeigt, dass die Bögen keine Kreisbögen sind egal wohin man den Mittelpunkt auf der Mittelsenkrechten  der Sehne schiebt. die π/4 die die 2 Bogenstücke  teilt hat er auch. Und JEDER Mathematiker:in  versichert dir, dass es keine Kreisbögen sind! Aber der Glaube versetzt  Berge, und vielleicht auch Bögen?

wenn sich jemand Mühe gibt, und nachdem du die Ellipse ja auch programmiert hast und Zeit dazu verwendet das mit "Sieht ziemlich dilletantisch aus.....!" zu kommentieren find ich schon grenzwertig!

lul

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Sieht ziemlich dilletantisch aus.....!

@Bert: irgendwie hatte ich ja geahnt, dass man Dich nicht so einfach 'überzeugen' kann. Aber mit dieser Reaktion hatte ich dann doch nicht gerechnet.

Hättet Ihr mal mein Beispiel genommen mit a=8 und b=5!

Kein Problem! Klicke auf das Desmos-Symbol rechts unten im Bild und verschiebe die Punkte auf den Koordinatenachsen so, dass daraus die Ellipse mit a=8 und b=5 wird. Dann noch ein wenig vergrößern ....

und die Gleichung für diesen Graphen findest Du dann auch oben links im Eck:$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad \text{bzw.} \space b_{g}\left(t\right)=\left(a\cos\left(t\right),b\sin\left(t\right)\right); \space t \in\left[0;\,\frac{\pi}4\right]$$und Du meinst dazu:

Das ist doch nie eine Ellipse!

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Der Mittelpunkt des Kreises stimmt mit meiner Berechnung für x_m und y_m nicht überein!

Habe die Sekante von B₁ ermittelt und dann auf dieser die Orthogonale gebildet, in deren Mitte!

Viele Grüße, Bert Wichmann!

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Hallo

Werner S. hat die Ellipse mit b=2 a=8 gezeichnet, und dir nett gezeigt, dass die Bögen keine Kreisbögen sind egal wo man den Mittelpunkt auf der Mittelsenkrechten  der Sehne schiebt. die π/4 die die 2 Bogenstücke  teilt hat er auch. Und JEDER Mathematiker:in  versichert dir, dass es keine Kreisbögen sind! Aber der Glaube versetzt  Berge, und vielleicht auch Bögen?

Zu deinem letzten Kommentar: hast du den Text von E.S. gelesen? den Mittelpunkt kann man in seiner interaktiven Demo beliebig auf der Mittelsenkrechten verschieben!!, Da gibt es beliebig viele Kreisbögen, die alle dieselbe Sehne haben, darunter einige die relativ gut annähern, andere schlechter, dein gewählter Mittelpunkt nähert relativ gut an, ist aber nicht die beste Näherung,

lul

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Der Mittelpunkt des Kreises stimmt mit meiner Berechnung für xm und ym nicht überein!

dann schiebe den Mittelpunkt doch dahin, wo Du ihn haben willst. Das sieht dann so aus:

@Bert: noch mal für Dich zur Info: es handelt sich bei den 'Bildern' um interaktive eingebettete Objekte. Du kannst sie also so verändern, wie es Dir genehm ist.

Das ändert rein gar nichts an meiner Aussage. Es erscheint mir, dass Du jedesmal irgendein Nebenthema aufmachst, sobald Dir die Argumente ausgehen!

Wir sind immer noch bei dem Thema, ob diese Ellipsenbögen (z.B. der rote) nun in sich (achsen)symmetrisch sind oder nicht.