Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck

Question

Hallo, ich habe das regelmäßige Fünfeck mit folgender Beschriftung:

Ich soll nun zeigen, dass E‘ die Strecke BD im Goldenen Schnitt teilt. Außerdem soll ich daraus eine Bestimmungsgleichung für das Teilungsverhältnis x von AD und AE (bzw. BD und BE‘) herleiten.

Kann mir jemand helfen? Vielen vielen Dank schonmal!

Answer 1

Schau mal unter Herleitung der Formeln

http://www.mathematische-basteleien.de/fuenfeck.htm

Answer 2

Hallo,

zu zeigen ist

BE':E'D=E'D:BD

Die Länge der Strecke AB=a findest du in der Figur an vielen Stellen, z.B. E'D=a.

Ebenso findest du b=BE' mehrere Male.

Damit ist zu zeigen:

b:a=a:(a+b)

-------

Betrachte nun z.B. die gleichschenkligen Dreiecke

ADC und CB'D

Beide Dreiecke sind ähnlich; warum findest du selbst raus.

Daher gilt

DC:AD=B'D:CB' bzw. a:(a+b)=b:a ✓

=========

Sei nun a=x und b=1.

x:(x+1)=1:x

x²=x+1

x²-x-1=0

Nun noch mit pq-Formel lösen.

:-)

Answer 3

Hallo,

Die Diagonale BE ist parallel zur Seite CD. Somit sind die Winkel \(\angle CDB\) und \(\angle EBD\) (blau) gleich. Wegen der Achsen- und Rotationssymmetrie sind auch die Winkel \(\angle DEB\) und \(E'CD\) (gelb) gleich groß.

Somit die beiden Dreiecke \(\triangle CE'D\) und \(\triangle EDB\) ähnlich. Damit gilt$$\frac{|BD|}{|DE|} = \frac{CD}{CE'}$$ Da das Dreieck \(\triangle EDB\) gleichschenklig ist, muss dies auch für \(\triangle CE'D\) gelten. Also ist$$|CD| = |DE'|$$und wegen der Symmetrie ist auch $$|CE'| = |BE'|$$Einsetzen in die erste Gleichung gibt:$$\frac{|BD|}{|DE|=|CD|} = \frac{CD}{CE'}\\ \frac{|BD|}{|DE'|} = \frac{|DE'|}{|BE'|}$$und das ist genau die Definition des Goldenen Schnitts.

Gruß Werner