Hey Werner,
was sagst du zu meiner Lösung.
Völlig daneben oder genial ?
Der größtmögliche Flächeninhalt des Rechtecks x * y ist ein Quadrat ( aus Erfahrung ).
'aus Erfahrung' ist zumindest gut geraten ;-) Du kannst das aber auch noch etwas unterfüttern:
Das Produkt x⋅y wird u.a. dann mit x=y maximal, wenn die Nebenbedingung wie hier x2+y2=r=constant ist.
Mit Lagrange lässt sich das auch belegen:L(x,y,λ)LxLy⟹x2=xy+λ(x2+y2−r)=y+2λx→0=x+2λy→0=y2aus der Zielfunktion x⋅y folgt, dass ein Maximum vorliegt, wenn x und y dasselbe Vorzeichen haben, also x=y ist.
Man könnte hier auch anschaulicher argmentieren, dass man ohne Einschrängung der Allgemeinheit x und y vertauschen kann. Das entspricht einer Spiegelung der Hypotenuse an der Winkelhalbierenden des Quadranten (45°-Geraden).
Daraus folgt, dass bei x=y ein kritischer Punkt vorhanden sein muss. Da im Intervall φ∈[0°;90°] keine Nebenoptima zu erwarten sind, liegt das Optimum wohl genau da.