Hey Werner,
was sagst du zu meiner Lösung.
Völlig daneben oder genial ?
Der größtmögliche Flächeninhalt des Rechtecks x * y ist ein Quadrat ( aus Erfahrung ).
'aus Erfahrung' ist zumindest gut geraten ;-) Du kannst das aber auch noch etwas unterfüttern:
Das Produkt \(x\cdot y\) wird u.a. dann mit \(x=y\) maximal, wenn die Nebenbedingung wie hier \(x^2+y^2=r=\text{constant}\) ist.
Mit Lagrange lässt sich das auch belegen:$$\begin{aligned}L(x,y,\lambda) &= xy + \lambda(x^2+y^2-r) \\ L_x &= y + 2\lambda x \to 0\\ L_y&= x + 2\lambda y \to 0\\ \implies x^2&=y^2\end{aligned}$$aus der Zielfunktion \(x\cdot y\) folgt, dass ein Maximum vorliegt, wenn \(x\) und \(y\) dasselbe Vorzeichen haben, also \(x=y\) ist.
Man könnte hier auch anschaulicher argmentieren, dass man ohne Einschrängung der Allgemeinheit \(x\) und \(y\) vertauschen kann. Das entspricht einer Spiegelung der Hypotenuse an der Winkelhalbierenden des Quadranten (45°-Geraden).
Daraus folgt, dass bei \(x=y\) ein kritischer Punkt vorhanden sein muss. Da im Intervall \(\varphi \in [0°;\,90°]\) keine Nebenoptima zu erwarten sind, liegt das Optimum wohl genau da.
