Für a,b ∈ℝ vielleicht so: Angenommen es wären a und b die Grenzwerte
und es wäre b<a. Dann wäre (a-b)/2 =: ε positiv.
Und es gäbe ein N, so dass für alle n>N gelten würde
\( |a_n-a|<ε \) und \( |b_n-b|<ε \)
<=> \( a-ε \lt a_n \lt a+ε \) und \( b-ε \lt b_n \lt b+ε \)
Mit (a-b)/2 =ε also
<=> \( \frac{a+b}{2} \lt a_n \lt \frac{3a-b}{2} \) und \( \frac{3b-a}{2} \lt b_n \lt \frac{a+b}{2} \)
Also gilt für diese n insbesondere
\( \frac{a+b}{2} \lt a_n \) und \( b_n \lt \frac{a+b}{2} \)
Also \( b_n \lt a_n \) im Widerspruch zu \( b_n \ge a_n \) für alle n.
