Gruppen und injektive Familien

Question

Sei (G, ·) eine Gruppe mit dem neutralen Element e. Für alle a ∈ G und alle n ∈ N^× sind die
Potenzen von a erklärt durch a^0 := e, an := a · an−1 sowie a−n := (a−1)n.

Bestimme in (R^×, ·) alle Elemente a, für die (a^i)i∈Z keine injektive Familie ist

Wie kann man die Elemente genau bestimmen und was ist mit injektiver Familie genau gemeint?

Comments

was ist mit injektiver Familie genau gemeint?

Eine Familie \((a_i)_{i\in I}\) ist eine Abbildung

\(f: I\rightarrow M,\;\; a_i=f(i)\) einer Indexmenge \(I\) in eine Menge \(M\).

Besteht die Familie aus lauter verschiedenen Werten,

dann ist \(f\) eine injektive Abbildung (Familie).

Answer 1

Ist die Familie \((a^i)_{i\in Z}\) nicht injektiv,

dann bedeutet das, dass es \(i\neq j\) gibt mit

\(a^i=a^j\). Überlege, was das über das \(a\) aussagt.

Comments

Nur die Elemente -1,0,1 gilt es dann

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1 und -1 sind OK, aber \(0\notin \mathbb{R}^*\) ;-)

Gut gelöst !!!