Überprüfen sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie, falls möglich, ihren Grenzwert: an = exp(3*n^ (1/(2n)))

Question

\( \exp (3 \cdot \sqrt[2 n]{n}) \)

ist es richtig wenn ich zu erst den Limes von 3*(²ⁿ√(n)) nehme?

lim(n→∞) 3*(²ⁿ√(n)) = 3*²√1 = 3

und damit lim(n→∞) exp(...) = lim exp(3)= exp(3)

Answer 1

Ja das ist in Ordnung das du zunächst nur den Exponenten betrachtest.

Schau z.B. die gerade von mir bearbeitete Aufgabe

https://www.mathelounge.de/96548/uberprufen-konvergenz-besten-falls-moglich-ihren-grenzwert

Dort betrachte ich auch kurz nur mal den Exponenten.

Answer 2

  ich schaue mir zunächst auch nur an wohin geht
  x = n und die Wurzel in einen Exponenten umgewandelt

  x^{1/[2*x]}

  Mich interessiert wohin
  ln ( x^{1/[2*x]} ) geht
  1/[2*x]  * ln (x)
  ln ( x ) / ( 2 * x)
  l Zähler und Nenner gehen für x -> ∞ auch gegen enendlich, also
  kann l´Hospital angewandt werden
  [ ln ( x )] ´ / [ 2 * x ] ´
  ( 1/x ) / 2
  1 / ( 2x ) geht  für x -> ∞ gegen null
  ln ( x^{1/[2*x]} ) geht gegen 0 also geht
  x^{1/[2*x]} geht gegen 1
  Übrig bleibt, wie bei dir, e^{3}
mfg Georg