Mengenlehre Gleichung herleiten

Question

Für endliche Mengen A und B gilt stets |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, wobei |X| die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge X bezeichnet. Verwende dies, um auch die Gleichung |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| für je drei endliche Mengen A, B und C herzuleiten.

Ich verstehe hier ehrlich gesagt nicht, was ich machen soll. Die Herleitung ist doch schon in der Angabe oder? Oder soll ich es mit einem konkreten Beispiel zeigen?

Comments

Die Herleitung ist doch schon in der Angabe oder?

Ich sehe da keine Herleitung !

Oder soll ich es mit einem konkreten Beispiel zeigen?

Nein.

Answer 1

Einfach die Gleichung

  |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

hinzuschreiben ist keine Herleitung. Ersetze stattdessen in der Gleichung

  |X ∪ Y| = |X| + |Y| − |X ∩ Y|

die X durch A ∪ B und die Y durch C und forme weiter um bis du den Term bekommst, der auf der rechten Seite der Gleichung bekommst, die du herleiten sollst.

Answer 2

Nutze |X ∪ Y| = |X| + |Y| − |X ∩ Y|

|A ∪ (B ∪ C)|

= |A| + |(B ∪ C)| − |A ∩ (B ∪ C)|

= |A| + |B| + |C| − |B ∩ C| − |(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)|

= |A| + |B| + |C| − |B ∩ C| − (|A ∩ B| + |A ∩ C| − |(A ∩ B) ∩ (A ∩ C)|)

= |A| + |B| + |C| − |B ∩ C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|