Zeigen Sie mittels der Definition der bestimmten Divergenz gegen -unendlich

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mittels der Definition der bestimmten Divergenz
gegen -∞, dass die Folge a_{n =(400 -n}² )_{n∈ℕ bestimmt divergiert gegen -∞ ist.}

Problem/Ansatz:

Wie beweist man sowas am besten ? ich würde es mit einen Beispiel machen aber ich glaube das wollen die nicht damit andeuten

Answer 1

Dazu schreibst du dir am besten die Definition mal hin.

Hättest du und am besten auch genannt.

Vielleicht ist sie so:

Zu jedem k∈ℝ (also insbesondere zu jedem negativen)

existiert ein N∈ℕ so, dass für alle n≥N gilt a_n ≤k .

Sei also k∈ℝ. Dann muss du zeigen, dass es ein N gibt

mit n≥N   ==>    a_n ≤k     für alle n∈ℕ.

In deinem Fall muss also gelten   400 -n²  ≤k

                              <=>  400 - k ≤   n^2

Nun existiert nach dem Axiom des Archimedes für jede

reelle Zahl x eine natürliche Zahl m mit m>x.

Also gibt es auch zu 400 - k ein  m∈ℕ mit 400-k < m

Da für alle n∈ℕ gilt n≤n^2  hat man also auch

                       400-k < m^2  .

Und für alle natürlichen n,m n>m gilt auch n^2 > m^2 ,

also erfüllt dieses m die Bedingung

                             n≥m    ==>      400 - k ≤  n^2

        bzw. (s.o.)    n≥m   ==>      400 - n^2  ≤  k

         bzw. (s.o.)    n≥m   ==>      a_n  ≤  k

m hat also die Eigenschaften des oben geforderten N,

also gibt es so ein N.    q.e.d.