Beweise A⊆X => (X\A = X => A = leere Menge)

Question

Beweise:

\(A \subseteq X \Rightarrow (X \setminus A = X \Rightarrow A = \emptyset) \).

Mein Versuch:

Die Aussage kann nur falsch sein, wenn (true => (true => false)). Angenommen \(A \not = \emptyset\), dann gibt es ein \(x \in A\) und und nach der ersten Voraussetzung \(x \in X\). Dann haben wir nach der zweiten Voraussetzung \(x \in X = X \setminus A\) also \(x \notin A\) was im Widerspruch steht mit \(x \in A\). Die Aussage \(A = \emptyset \) ist also wahr.

Answer 1

Es gilt:$$(X\Rightarrow Y)\Leftrightarrow (\overline { Y } \Rightarrow \overline { X } )$$Also gilt auch:$$A\subseteq X\Rightarrow (X \setminus A=X\Rightarrow A=\emptyset )$$$$\Leftrightarrow \overline { (X \setminus A=X\Rightarrow A=\emptyset ) } \Rightarrow \overline { A\subseteq X }$$$$\Leftrightarrow (X \setminus A=X\wedge A\neq \emptyset )\Rightarrow \overline { A\subseteq X }$$Das zeige ich nun:$$(X \setminus A=X\wedge A\neq \emptyset )\Rightarrow \overline { \exists a\in A:a\in X } \Rightarrow \forall a\in A:a\notin X\Rightarrow \overline { A\subseteq X }
$$

In Worten: Wenn A nicht die leere Menge ist und X ohne A gleich X ist, dann kann kein Element von A auch Element von X sein. Dann sind also alle Elemente von A kein Element von X und das bedeutet, dass A keine Teilmenge von X ist.