DGL System bestimmen Matrix?

Question

Könnte mir bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen? Danke!

Aufgabe:

Die klassischen Bewegungsgleichungen zweier gekoppelter Pendel gleicher Längen und Massen sind gegeben durch
$\begin{array}{l}x_{1}^{\prime \prime}(t)+(\alpha+k) x_{1}(t)-k x_{2}(t)=0 \\x_{2}^{\prime \prime}(t)-k x_{1}(t)+(\alpha+k) x_{2}(t)=0 .\end{array}$
Hierbei ist $k>0$ die Kopplungskonstante und $\alpha=\frac{g}{l}>0$ mit der Gravitationskonstante $g$ und der Länge $l$ beider Pendel.
(a) Schreiben Sie das System in Kurzform
$x^{\prime \prime}(t)+B x(t)=0$
mit einer geeigneten $2 \times 2$ - Matrix $B$ und diagonalisieren Sie $B$. Ermitteln Sie die (eindeutig bestimmte) positiv definite Matrix $A$, für die $A^{2}=B$ gilt.
(b) Verwenden Sie die Ergebnisse aus Problem 1, um diejenige Lösung des obigen Dgl.Systems zu bestimmen, die den Anfangsbedingungen $x(0)=x_{0}$ und $x^{\prime}(0)=y_{0}$ mit gegebenen $x_{0}, y_{0} \in \mathbb{R}^{2}$ genügt. (Es erweist sich als vorteilhaft, am Ende von Teil (a) die Größen $\omega_{+}:=\sqrt{\alpha+2 k}$ und $\omega_{-}:=\sqrt{\alpha}$ einzuführen.

Comments

Ergebnisse aus Problem 1

Handelt es sich bei Probelm 1 um Deinen anderen Post?

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Ja es ist ein anderes Problem

Answer 1

Die Dgl. kann man in Matrix- / Vektorform so schreiben

$$\begin{pmatrix} x_1''(t) \\ x_2''(t) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha+k & -k \\ -k & \alpha + k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix} = 0$$ Das entspricht der Darstellung

$$(1) \quad x''(t) + B x(t) = 0$$ mit $$B =\begin{pmatrix} \alpha+k & -k \\ -k & \alpha + k \end{pmatrix}$$ und $$x(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix}$$

Die Matrix $B$ ist diagonalisierbar. Nach Eigenwert- und Eigenvektorberechnung bekommt man $$D = T^{-1} B T$$ mit $$D = \begin{pmatrix} \alpha+2k & 0 \\ 0 & \alpha \end{pmatrix}$$ und $$T = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Damit kan man (1) auch so schreiben

$$(2) \quad T^{-1} x''(t) + D T^{-1} x(t) = 0$$

Setzt man $$y(t) = T^{-1} x(t)$$ bekommt man die folgende Dgl.

$$(3) \quad y''(t) + Dy(t) = 0$$

Gleichung (3) kann man auflösen und man bekommt

$$(4) \quad y_1''(t) + (\alpha + 2k) \cdot y_1(t) = 0$$ bzw. $$(5) \quad y_2''(t) + \alpha \cdot y_2(t) = 0$$ mit den Anfangsbedingungen $$y_1(0) = 0 ; y_2(0) = 0 ; y'_1(0) = \frac{y_0 - x_0}{2} ; y'_2(0) = \frac{y_0 +x_0}{2}$$

Die Lösungen von (4) und (5) sind

$$(6) \quad y_1(t) = \frac{1}{\sqrt{\alpha+2k}} \sin\left( \sqrt{\alpha+2k} t \right) \frac{y_0 - x_0}{2}$$ und

$$(7) \quad y_2(t) = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \sin\left( \sqrt{\alpha} t \right) \frac{y_0 + x_0}{2}$$

Die Lösungen bekommt man durch die folgende Transformation $$\begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} y_1(t) \\ y_2(t) \end{pmatrix}$$

Das Ergebnis ist dann

$$(8) \quad x_1(t) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \sin\left( \sqrt{\alpha} t \right) (y_0+x_0) - \frac{1}{\sqrt{\alpha+2k}} \sin\left( \sqrt{\alpha+2k} t \right) (y_0 - x_0) \right)$$

$$(9) \quad x_2(t) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \sin\left( \sqrt{\alpha} t \right) (y_0+x_0) + \frac{1}{\sqrt{\alpha+2k}} \sin\left( \sqrt{\alpha+2k} t \right) (y_0 - x_0) \right)$$

Warum man die Matrix $B$ als $A^2$ schreiben soll, erschliesst sich mir in diesem Zusammenhang nicht. Aber es gilt natürlich

$$B = T D T^{-1} = T D^{\frac{1}{2}} T^{-1} T D^{\frac{1}{2}} T^{-1}$$ Damit wäre die gesuchte Matrix $$A = T D^{\frac{1}{2}} T^{-1}$$  mit $$D^{\frac{1}{2}} = \begin{pmatrix} \sqrt{\alpha+2k} & 0 \\ 0 & \sqrt{\alpha} \end{pmatrix}$$ die auch ex. weil die Größen in der Wurzel alle positiv sind.

Answer 2

Hallo

schreib das als x1"= und x2"= dann steht -B praktisch da, dan Gegenwerte und Eigenvektoren bestimmen

Gruß lul

Comments

Hallo, könntest du mir das bitte zeigen?

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(α+k)    −k

−k      (α+k)

das ist B multipliziere mit (x1,x2)^T und du siehst es!

lul

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Danke, und bei der b?