Scheitelpunkt der Funktion f(x)=(x-2)²-1 sowie 2 lineare Gleichungen 2x+4y=4 und 6x-2y=12 lösen

Question

Ich komme mit 2 weiteren Fragen nicht klar.

1)Gegeben ist die Funktion y=f(x)=(x-2)²-1
a) Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel an.
b)Berechne die Nullstelle der Funktion f, in welchem Punkt schneidet der Graph die y-Achse?
c)Welche x-Koordinaten haben die Punkte,die auf dem Graph der Funktion f liegen und die y-Koordinate 8 besitzt?
d) Überprüfe deine Ergebnisse anhand einer Zeichnung!

2)Gegeben sind lineare Gleichungen mit 2 Variablen. Gleichung (1): 2x+4y=4 und gleichung (2): 6x-2y=12
a)Gib je zwei Zahlenpaare an,die Lösungen der Gleichung(1) bzw. der Gleichung (2) sind
b) Ergänze die Zahlenpaare(2/3;...) und (...;-9) so,dass sie Lösungen der Gleichung (1) sind.
c) Stelle beide Gleichungen nach y um,sodass Gleichungen der Form y=mx+n entstehen.
d) Überprüfe grafisch deine Ergebnisse zu den Aufgaben 4 a u. b
e) Löse das durch die beiden Gleichungen gebildete lineare Gleichungssystem rechnerisch
f) Lies die Koordinaten des Schnittpunktes S beider Graphen ab und vergleiche dein Ergebnis mit dem der Aufgabe 5e)
g)Unter welchen Winkeln schneiden die Graphen der Funktion zu den Gleichungen (1) und (2) die x-Achse?

Bitte mit Rechenweg - damit ich das verstehe(bei beiden Aufgaben)

 

Answer 1

1)Gegeben ist die Funktion y=f(x)=(x-2)²-1

a) Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel an.

Gegeben ist die Scheitelpunktform einer Parabel. Daher kann man den Scheitelpunkt direkt bei S(+2 | -1) ablesen.

b)Berechne die Nullstelle der Funktion f, in welchem Punkt schneidet der Graph die y-Achse?

Nullstellen f(x) = 0
(x-2)²-1 = 0
(x-2)² = 1
x - 2 = +-1
x = 2 +- 1
x1 = 1 ; x2 = 3

c)Welche x-Koordinaten haben die Punkte,die auf dem Graph der Funktion f liegen und die y-Koordinate 8 besitzt?

f(x) = 8
(x-2)²-1 = 8
(x-2)² = 9
x - 2 = +- 3
x = 2 +- 3
x1 = -1 ; x2 = 5

d) Überprüfe deine Ergebnisse anhand einer Zeichnung!

Comments

2)Gegeben sind lineare Gleichungen mit 2 Variablen. Gleichung

(1): 2x + 4y = 4 und gleichung
(2): 6x - 2y = 12

a)Gib je zwei Zahlenpaare an,die Lösungen der Gleichung(1) bzw. der Gleichung (2) sind

Lösung für Gleichung (1) Zahlenpaare: (0 | 1) (2 | 0)
Lösung für Gleichung (2) Zahlenpaare: (0 | -6) (2 | 0)

b) Ergänze die Zahlenpaare(2/3;...) und (...;-9) so,dass sie Lösungen der Gleichung (1) sind.

2x + 4y = 4
4y = 4 - 2x
y = 1 - 0,5 x = 1 - 0,5 * 2/3 = 2/3 => (2/3; 2/3)

2x + 4y = 4
2x = 4 - 4y
x = 2 - 2y = 2 - 2*(-9) = 20 => (20; -9)

c) Stelle beide Gleichungen nach y um,sodass Gleichungen der Form y=mx+n entstehen.

y = -0,5x + 1 [Hab ich schon aus der vorherigen Aufgabe]

6x - 2y = 12

-2y = -6x + 12
y = 3x - 6

d) Überprüfe grafisch deine Ergebnisse zu den Aufgaben 4 a u. b

e) Löse das durch die beiden Gleichungen gebildete lineare Gleichungssystem rechnerisch

-0,5x + 1 = 3x - 6
-3,5x = -7
x = 2

y = 3*2 - 6 = 0

Rechnerische Lösung bei (2 | 0)

f) Lies die Koordinaten des Schnittpunktes S beider Graphen ab und vergleiche dein Ergebnis mit dem der Aufgabe e)

Der Schnittpunkt stimmt mit dem rechnerischen Ergebnis überein.

g)Unter welchen Winkeln schneiden die Graphen der Funktion zu den Gleichungen (1) und (2) die x-Achse?

y₁ = -0,5x + 1
y₂ = 3x - 6

α₁ = arctan(-0,5) = -26,57°
α₂ = arctan(3) = 71,57°