Beweis vollständige Induktion (Mengenlehre)?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Beweis:
Annahme: $M \neq \emptyset$. Clecenblispiel
Nach dem Wohlordnungsprinzip $0.10$ besitzt $M$ ein kleinstes Element $m \in M$, d.h insbesondere $\mathcal{A}(m)$ ist falsch. [weit $m \in M$ ]
1. Fall $m=1: \quad$ Dann ist $\mathcal{A}(1)$ falsch im Widerspruch zum Induktionsanfang.
2. Fall $m \neq 1: \quad$ Dann ist $m-1 \in \mathbb{N}$ und $\mathcal{A}(m-1)$ wahr. Aus dem Induktionsschluss folgt $\mathcal{A}(m)$ wahr. Widerspruch!
Also ist $M=\emptyset$ und somit $\mathcal{A}(n)$ für jedes $n \in \mathbf{N}$ wahr.

(Meine Bemerkung am besten einfach ignorieren)

Problem/Ansatz:

Verstehe den Beweis leider garnicht.

Warum ist im 1 Fall im Wiederspuch zum Induktionsanfang falsch? Was ist mit Fall 2 gemeint?? :/