Wahrscheinlichkeitsraum für K-maliges Werfen einer Münze

Question

Aufgabe:

Geben Sie für die folgenden Zufallsexperimente einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) an! Spezifizieren Sie hierzu die Menge Ω, die σ-Algebra A und das Wahrscheinlichkeitsmaß P.

(i) Werfen mit einer fairen Münze mit den Seiten “Kopf” und “Zahl”.

(ii) K-maliges werfen einer solchen Münze.

Problem/Ansatz:

(i) War ja noch relativ Simpel, da hier Ω aus {K,Z} besteht, A={∅, {K}, {Z}, {K,Z}} und P(∅) = 0, P({K}) = P({Z}) = 1/2 und P({K,Z}) = 1.

(ii) Dachte für Ω wäre es nun naheliegend {H, T}^k (H, T statt K, Z wegen der Verwirrung mit K) zu wählen, aber was würde ich dann für A bzw. für P wählen? A wäre doch dementsprechend irgendeine Kombination von {K}, aber z.B. auch {H, H, T, T, ...., T}. Beispiele die ich dazu finde nutzen normalerweise auch Fragestellungen wie "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für nur Kopf" oÄ. Da würde ich die Herleitung ja auch verstehen, aber wie macht man das mit P allgemein, wenn es keine solche Frage gibt?

Vielen Dank für jede Hilfestellung

Answer 1

Hallo,

\(\Omega\) besteht also aus allen Listen \((x_1,x_2, \ldots,x_k)\) mit \(x_i=H\) oder \(x_i=T\). Für A kannst Du einfach die Potenzmenge von \(\Omega\) nehmen, also die Menge aller Teilmengen von \(\Omega\). Und für ein Element M aus A, also eine Teilmenge von \(\Omega\):

$$P(M):=\frac{|M|}{2^k}$$

Dabei steh \(|M|\) für die Anzahl der Elemente in M, so wie \(2^k=|\Omega|\)

Gruß Mathhilf

Comments

Alles klar, vielen Dank!