Es sei K ein angeordneter Körper. Beweisen Sie für x,y in K die folgenden Aussagen.

Question

Aufgabe:

\(\text{ Es sei K ein angeordneter Körper. }\\ \text{ Beweisen Sie für x, y ∈ K die folgenden Aussagen. } \\ \text{ Geben Sie dabei in jedem Schritt an, welche Axiome (bzw. welche Folgerungen) Sie verwenden. } \\ (a)\ x > 0 \Longrightarrow x^{-1} > 0 \\ (b)\ 0 < x < y \Longrightarrow x^{-1} > y^{-1}\\ (c)\ xy > 0 \Longleftrightarrow x > 0 \ \wedge \ y > 0 \ \ oder\ \ x<0 \ \wedge \ y < 0 \)

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich vor, um zu beweisen, dass (a) und (b) richtige Aussagen sind?

Answer 1

a)  Eine der Folgerungen, die ihr schon hattet, war vielleicht

     0 < 1

Sei nun x>0 dann betrachte

        0 < 1 = x*x^(-1)   also   x*x^(-1) > 0

wegen c) gilt dann

  \(  x > 0  \wedge  x^{-1} > 0  \text{   oder  }x<0 \ \wedge x^{-1}< 0 \)

Wegen x>0 bleibt nur die 1. Möglichkeit.

b)   \(   0 < x < y \Longrightarrow x^{-1} > y^{-1}  \)

Seien x,y ∈ K mit    \(  0 < x < y \)

Multipliziere die Ungleichung (von rechts mit dem positiven (s. Teil (a) )  y^-1

Dann hast du \(  0 < x \cdot y^{-1} < 1  \)

Multipliziere diese Ungleichung (von links mit dem positiven (s. Teil (a) )  x^-1

Dann hast du \(  0 <y^{-1} < x^{-1}  \)     q.e.d.