Aufgabe:
Der Körper Q sei mit einer beliebigen Anordnung ≥b versehen. Zeigen Sie:
(a) Für jedes n ∈ N gilt n ≥b 0.
(b) Für jedes x ∈ Q gilt x ≥ 0 ⇒ x ≥b 0.
(c) Die gegebene Anordnung ≥b ist die klassische Anordnung ≥.
Problem/Ansatz:
zu a) Ist klar.
zu b)
x ist eine nichtnegative rationale Zahl. Somit gibt es nicht negative Zahlen p,q mit q ≠ 0 und x = \( \frac{p}{q} \). Es gilt also:
x * p = p ≥b 0 (aus a) und q ≥b 0.
Sei diese Aussage nun falsch, würden wir die Anordnung der Rationalenzahlen anfechten, wo wir nach Definition von Q sagen können, dass diese Anordnung so sein muss. q.e.d
zu c)
Fallunterscheidung (Positivitätsmengen müssen gleich sein).
Passt das so oder verstehe ich etwas nicht?
