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Aufgabe:

Seien \(I_1, \dots, I_n\) beschränkte Intervalle so, dass

$$[0,1]\cap\mathbb{Q}\subset\bigcup_{i=1}^{n}I_i$$

Zeige, dass daraus bereits

$$1\leq\sum_{i=1}^nl(I_i)$$

folgt.


Problem/Ansatz:

Ich denke, dass man das mithilfe eines Widerspruchsbeweises lösen kann und z. B. annimmt, dass

$$1>\sum_{i=1}^nl(I_i)$$

Könnt ihr mir bei dem Beweis helfen? Ich komme nicht weiter.


Viele Grüße

Simplex

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Beste Antwort

Hallo,

eine mögliche Idee ist die Folgende:
Man "räumt die Intervalle etwas auf", d.h. man macht aus \(I_1,\dots,I_n\) leicht veränderte Intervalle \(J_1,\dots,J_m\) (wobei \(m\leq n\)) mit schöneren Eigenschaften. Dabei soll natürlich die Summe der Längen nicht größer werden und die Schnitte von \([0,1]\) mit den Vereinigungen sollen jeweils gleich sein. Dann zeigt man, dass \(1\leq \sum_{i=1}^m\mathcal l(J_i)\) gilt und ist fertig.

Genauer heißt das: Man kann Intervalle \(J_1,\dots,\,J_m\) mit \(m\leq n\) finden und \(J_1=[0,b_1),\,J_m=(a_m,1],\,J_i=(a_i,\,b_i)\) für \(i=2,\dots,m-1\) sodass$$ 0=a_1\leq b_1\leq\dots\leq a_m\leq b_m=1$$ und $$ \sum_{i=1}^m\mathcal l(J_i)\leq\sum_{i=1}^n\mathcal l(I_i)\tag{*}$$ sowie $$ [0,1]\cap\bigcup_{i=1}^m J_i=[0,1]\cap\bigcup_{i=1}^n I_i$$ gelten.

Das ist etwas nervig aufzuschreiben, deswegen will ich das hier auch nicht machen. Die Idee sollte aber klar sein, warum das geht.

Nun sieht man relativ leicht, dass \(a_{i+1}=b_i\) für \(i=1,\dots,m-1\) gelten muss.
Dann ist \(\sum_{i=1}^m\mathcal l(J_i)=1\) (Teleskopsumme) und nach (*) folgt die Aussage.


LG Dojima

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