soll man am Ende addieren oder subtrahieren?

Question

Aufgabe:

Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert µ und
Standardabweichung σ. Berechnen:c) P(X < −5 ∨ X > 1) für µ = −2, σ = 2.

(∨  bedeutet ’oder’)

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

(c) $P(x<-5 \cup x>1)$ für $\mu=-2 \quad \sigma=2$
$x_{1}=-5 \quad P(x<-5)=z=\left(\frac{x_{1}-\mu}{\sigma}\right)=\left(\frac{-5-(-2)}{2}\right)=-1,5$
$\Phi(-1,5)=1-\Phi(1,5)=1-0,9332=0,0668$
$x_{2}=1 \quad P(x>1)=z=\left(\frac{x_{1}-\mu}{\sigma}\right)=\left(\frac{1-(-2)}{2}\right)=1,5$
cp $(1,5)=0,99332$

Answer 1

Aloha :)

Du bist ein wenig zu forsch an die Aufgabe herangegangen. Die Standardnormalverteilung $\phi(z)$ liefert die Wahrscheinlichkeit $P(Z<z)$, dass eine Zufallsvariable $Z$ einen Wert kleiner (oder gleich) $z$ hat:$$\phantom=P(X<-5\lor X>1)=P(X<-5)+\pink{P(X>1)}=P(X<-5)+\pink{1-P(X<1)}$$

Jetzt normalisieren wir mit $\mu=-2$ und $\sigma=2$:$$=\phi\left(\frac{-5-(-2)}{2}\right)+1-\phi\left(\frac{1-(-2)}{2}\right)=\phi(-1,5)+1-\phi(1,5)$$

Wegen der Symmetrie $\green{\phi(z)+\phi(-z)=1}$ ist $\green{\phi(-1,5)=1-\phi(1,5)}$ und wir erhalten:$$=2\cdot\phi(-1,5)=2\cdot0,066807=0,133614\approx13,36\%$$