Aufgabe:
Für ein \( n \in \mathbb{N} \) sei \( u:(0, \infty) \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
\(\displaystyle u(t, x)=\frac{1}{t^{n / 2}} \mathrm{e}^{\frac{-\|x\|^{2}}{4 t}} . \)
Berechnen Sie die partiellen Ableitungen \( \frac{\partial}{\partial t} u(t, x), \frac{\partial}{\partial x_{i}} u(t, x) \) sowie \( \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}} u(t, x) \) (für alle \( i \in\{1, \ldots, n\}) \) und zeigen Sie, dass \( u \) eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung ist:
\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} u(t, x)=\Delta u(t, x) \text { für alle }(t, x) \in(0, \infty) \times \mathbb{R}^{n} . \)
Problem/Ansatz:
