Aussagen über Folgen beweisen oder widerlegen

Question

Aufgabe:

Seien (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ Folgen und a,b∈ℝ. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

a) Gilt an → a, bn → b und an < bn für alle n∈ℕ, so folgt a < b.

b) Gilt a_n → 0 und ist (b_n)_n∈ℕ beschränkt, so folgt a_nb_n → 0.

c) Gilt a_n → a, b_n ≠ 0 für alle n∈ℕ und (a_n)/(b_n) → 0, so kann (b_n)_n∈ℕ keine Nullfolge sein.

d) Gilt b_n → 0 und bn ≠ 0 für alle n∈ℕ, so ist (1)/(b_n)_n∈ℕ in ℝ divergent.

Answer 1

Gegenbeispiel zu a)   1/(n+1)  <   1/n beide Grenzwerte 0.

b)  Seien (a_n)_n∈ℕ (b_n)_n∈ℕ  Folgen mit an → 0 und ist (b_n)_n∈ℕ beschränkt.

Also existiert ein c∈ℝ mit |b_n| < c für alle n∈ℕ.

und zu jedem ε>0 ein N∈ℕ mit n>N ==>  | a_n | < ε für alle n∈ℕ.  #

Es ist zu zeigen :  a_nb_n → 0.

Sei nun ε>0 . Dann suchst du ein N∈ℕ mit n>N ==>  | a_n*b_n | < ε für alle n∈ℕ.

| an*bn | =   | an| *| bn |  ≤    | an| * c

Das ist sicherlich kleiner ε, wenn | an | <  ε / c .

Wegen c>0 ist ε / c > 0 und gemäß # gibt es also

ein N∈ℕ mit n>N ==>  | an | < ε/c für alle n∈ℕ.

Dieses N ist das Gesuchte.

Comments

Hätte jemand was zu den anderen Aufgaben

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Hab was ergänzt.

Mach doch mal Vorschläge zu den anderen Teilen.