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Aufgabe mit Lösung:

2. Beweisen Sie: In einem beliebigen Parallelogramm halbieren die Diagonalen einander.

LÖSUNG:
- Sei \( A B C D \) ein Parallelogramm, \( E \) der Schnittpunkt der Diagonalen.
- \( \angle(A B E) \equiv \angle(C D E) \) nach Wechselwinkelsatz
- \( \angle(B A E) \equiv \angle(D C E) \) nach Wechselwinkelsatz
- \( |A B|=|C D| \quad \) da nach einem bekannten Satz gegenüberliegende Seiten im Parallelogramm gleich lang sind
- \( \Rightarrow \Delta A B E \equiv \Delta C D E \quad \) nach dem Kongruenzsatz ,wsw"
- \( \Rightarrow|B E|=|D E| \) und \( |A E|=|C E| \), was zu beweisen war.

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WSW besagt: Wenn zwei Dreiecke in einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen, dann sind sie kongruent.

Aber was bitte sagt die Lösung darüber aus, dass die Diagonalen sich einander halbieren?

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1 Antwort

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Beste Antwort
In kongruenten Dreiecken sind alle einander entsprechenden Strecken gleich lang. Auch die einander entsprechenden Seitenhalbierenden (Schwerlinien).

Daher sind die Diagonalenstücke auf beiden Seiten der Diagonalen gleich lang. Sie halbieren sich gegenseitig.
Avatar von 162 k 🚀

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