Wann darf man bei der Grenzwertberechnung die Produktregeln anwenden?

Question

Aufgabe:

Wann darf man bei der Grenzwertberechnung die Produktregeln anwenden?

\(\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow-1}\left(\frac{5 x+5}{1+x}-\frac{1+x}{1-x} \cdot \frac{5}{1-x^{2}}\right) \)

Problem/Ansatz:

Meine Idee war es, das ganze wie folgt zu vereinfachen

lim (5x+5)/(1+x) - lim (1+x)/(1-x) • lim (5)/(1-x²)

lim (5x+5)/(1+x) = 5

lim (1+x)/(1-x) = 0

lim (5)/(1-x²) = -∞

Also wäre der Grenzwert unter der Anwendung der Produkt und Differenzregel = 5

Das Ergebnis ist jedoch nicht korrekt, also habe ich wie folgt gerechnet:

lim (5x+5)/(1+x) - lim ((1+x)•5) / ((1-x) • (1-x²)) = 15/4

15/4 ist korrekt, aber ich verstehe nicht, wieso ich hier die Produktregel nicht anwenden darf, kann mir das einer erklären?

Vielen Dank schonmal!

LG

Answer 1

Unbestimmte Ausdrücke wie 0⁺·(± ∞) sind nicht notwendigerweise Null !

Was passiert bei folgenden Ausdrücken wenn x gegen 0 geht?

1/x * x = 1
1/x * x^2 = x
1/x^2 * x = 1/x

Vereinfache den Term und führe eine statige Ergänzung durch indem du Nullstellen des Zählers und Nullstellen des Nenners kürzt.

(5·x + 5)/(1 + x) - (1 + x)/(1 - x)·5/(1 - x^2)
= (5·(x + 1))/(1 + x) - (1 + x)/(1 - x)·5/((1 + x)·(1 - x))
= (5·1)/1 - 1/(1 - x)·5/(1·(1 - x))
= 5 - 5/((1 - x)^2)

lim (x → -1) 5 - 5/((1 - x)^2) = 5 - 5/((1 - (-1))^2) = 3.75

Answer 2

Hallo

das Produkt von 2 GW ist nur der GW des Produkts wenn beide GW endlich sind.

am einfachsten siehst du das für x*1/x für x gegen 0. auch hier hast du mit kürzen einen einfachen GW während du sonst mit oo hantieren müsstest, und 0*oo gibt es nicht wie du es benutzt hast

x*1/x m x^2*1/x und x*1/x^2 für x gegen 0 wären für dich alle 0  für x gegen 0 weil du  eben den Irrtum 0*oo =0 rechnest

Merke für immer oo ist keine Zahl mit der man jemals wie mit einer Zahl rechnet!!

Gruß lul

Comments

Vielen Dank! Das werde ich in meinen Unterlagen gleich ergänzen, ich dachte, die Produktregel kann man immer anwenden, aber jetzt ergibt es auch Sinn, danke

Answer 3

Aloha :)

Wenn zwei Folgen \((a_n)\) und \((b_n)\) konvergieren, dann konvergieren auch die Folgen \((a_n\pm b_n)\), \((a_n\cdot b_n)\) und sogar \(\left(\frac{a_n}{b_n}\right)\), wobei natürlich bei der Division alle Folgenglieder von \(b_n\ne0\) sein müssen.

Dieses Theorem kannst du hier zunächst nicht anwenden, da die pinke Folge aus dem Produkt nicht konvergiert:$$\phantom{=}\lim\limits_{x\to-1}\left(\frac{5x+5}{1+x}-\frac{1+x}{1-x}\cdot\pink{\frac{5}{1-x^2}}\right)$$

Du kannst den Term aber umformen:$$=\lim\limits_{x\to-1}\left(\frac{5\cancel{(x+1)}}{\cancel{(x+1)}}-\frac{\cancel{(1+x)}}{(1-x)}\cdot\pink{\frac{5}{(1-x)\cancel{(1+x)}}}\right)=\lim\limits_{x\to-1}\left(5-\frac{5}{(1-x)^2}\right)$$

Nun konvergieren beide Folgen und du kannst das Theorem von oben verwenden:$$=\lim\limits_{x\to-1}\left(5\right)-\lim\limits_{x\to-1}\frac{5}{(1-x)^2}=5-\frac{5}{2^2}=\frac{15}{4}$$

Comments

mit welchem Programm hast du das so schön aufgeschrieben?

Dass die Lösung so smart sein kann, haut mich gerade um :D

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Ich habe Latex benutzt, was hier im Forum recht gut unterstützt wird ;)

Ich hatte noch einen kleinen Bug drin, habe ihn noch korrigiert (ich hatten den falschen Faktor durchgestrichen).

Answer 4

\(\lim \limits_{x \rightarrow-1}\left(\frac{5 x+5}{1+x}-\frac{1+x}{1-x} \cdot \frac{5}{1-x^{2}}\right) \)

\(\lim \limits_{x \rightarrow-1}\left(\frac{5*(x+1)}{1+x}-\frac{1+x}{1-x} \cdot \frac{5}{(1-x)*(1+x)}\right) \)

\(\lim \limits_{x \rightarrow-1}(5-\frac{5}{(1-x)^2}) =5-\frac{5}{4}=\frac{15}{4}\)

Comments

Danke, dass hatte ich dann auch, mir war nur nicht klar, warum ich bei den hinteren beiden Brüche keine Produktregel anwenden durfte, aber das wurde von lul erklärt