0 Daumen
453 Aufrufe
Gegeben sei die Grundgesamtheit der Lösungs-Realteile der Kreisteilungsgleichung

x^{2k +1} -1 = 0 für k = 2

Wie lauten die Lösungen der Gleichung ? Wie die Realteile der Lösungen ?

Wie lauten Mittelwert und Varianz der Lösungs-Realteile ?

Wie lauten Mittelwert und Varianz der Kehrwerte der Lösungs-Realteile ?

Wie lauten Mittelwert und Varianz für ausgesuchte k aus der Menge der natuerlichen Zahlen für die beiden Grundgesamtheiten ?
von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Gegeben sei die Grundgesamtheit der Lösungs-Realteile der Kreisteilungsgleichung

x^{2k +1} -1 = 0   für k = 2

oder x^5 = 1

Wie lauten die Lösungen der Gleichung ? Wie die Realteile der Lösungen ?

x = - √5/4 - 1/4 - i·√(10 - 2·√5)/4 
x = - √5/4 - 1/4 + i·√(10 - 2·√5)/4 
x = √5/4 - 1/4 - i·√(2·√5 + 10)/4 
x = √5/4 - 1/4 + i·√(2·√5 + 10)/4 
x = 1

Die Realteile lauten: - √5/4 - 1/4; √5/4 - 1/4; 1

Wie lauten Mittelwert und Varianz der Lösungs-Realteile ?

Mittelwert: (2 * (- √5/4 - 1/4) + 2 * (√5/4 - 1/4) + 1) / 5 = 0

Varianz: 1/5·(2·(- √5/4 - 1/4)^2 + 2·(√5/4 - 1/4)^2 + 1^2) = 1/2

Wie lauten Mittelwert und Varianz der Kehrwerte der Lösungs-Realteile ?

Mittelwert: (2 / (- √5/4 - 1/4) + 2 / (√5/4 - 1/4) + 1) / 5 = 1

Varianz: 1/5·(2·(- √5/4 - 1/4 - 1)^2 + 2·(√5/4 - 1/4 - 1)^2 + (1 - 1)^2) = 3/2

Wie lauten Mittelwert und Varianz für ausgesuchte k aus der Menge der natürlichen Zahlen für die beiden Grundgesamtheiten ?

Also hier muss ich noch mal drüber nachdenken wie es gemeint ist. Was sollen hier die Grundgesamtheiten sein?

von 378 k 🚀

Hier mal eine Untersuchung für beliebige n.Wurzeln.

Der Realteil der n. Wurzel berechnet sich doch aus 

r = cos(2·pi·i/n) für i = 0 bis n-1

Erwartungswert:

∑ i=0 bis n-1 über cos(2·pi·i/n) = 0

Varianz:

1/n * ∑ i = 0 bis n-1 cos(2·pi·i/n)^2 = 1/n * n/2 = 1/2

 

Exzellent !

Bei der Varianz für die Kehrwerte der Lösungs-Realteile hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen: Es muss eben der Kehrwert als Argument genommen werden, also

Varianz: 1/5·(2·( 1/(- √5/4 - 1/4) - 1)^2 + 2·(1/(√5/4 - 1/4) - 1)^2 + (1/1 - 1)^2) = 4
Danke für die Korrektur. Du hast natürlich recht.
Bei den Kehrwerten der Loesungs-Realteile hilft eine Betrachtung folgender Zusammenhaenge:

1) Die Realteile der Loesungen von x^{2k +1} -1 = 0 sind cos (360°/(2k +1)*m) für m = 0 bis 2k

(oder auch für m von 1 bis 2k +1).

2) Die Realteile sind also auch die (2k +1) Loesungen cos phi der Gleichung cos (2k +1)*phi -1 = 0

  für k = 2 also  cos (5*phi) = 1

3) cos (2k +1)*phi = ∑ i = k bis 0   (2k +1 über 2k -2i) (cos phi)^{2i +1} * (sin phi)^{2k -2i}

 = (2k+1 über 0)*(cos phi)^{2k +1}*(sin phi)^{0}

+(2k+1 über 2)*(cos phi)^{2k -1}*(sin phi)^{2} ++...+(2k+1 ueber 2k)*(cos phi)^{1}*(sin phi)^{2k}.

= (2k +1) (cos phi)*(sin phi)^{2k} +(2k+1!)/(2k -2) ! / 3 ! *(cos phi)^3*(sin phi)^{2k -2} +++....

= 5 (cos phi)*(sin phi)^4 +(120)/2/6 *(cos phi)^3*(sin phi)^2 +(120)/1/120 *(cos phi)^5*(sin phi)^0

= 5 cos phi*(sin phi)^4 +10*(cos phi)^3*(sin phi)^2 +(cos phi)^5

= 16 (cos phi)^5 -20 (cos phi)^3 +5 (cos phi)

4) sin phi kommt also nur in gerader Potenz vor und das lineare Glied in cos phi hat den Koeffizienten (2k +1), wenn die Gleichung ∑ i = 1 bis 2k +1        ai * (cos phi)^i = 1 betrachtet wird

also a1 = 2k +1

Da nach dem Wurzelsatz von Vieta die (2k.) elementarsymmetrische Funktion e2k(x1..x2k+1) den absoluten Betrag des linearen Gliedes ausdrückt, gilt

∑ i = 1 bis 2k +1 (∏ (j = 1 bis 2k +1) xi) / xi = (-1)^{2k} *a1 = +(2k +1)

ausserdem gilt, dass die (2k +1.) elementarsymmetrische Funktion e2k+1(x1..x2k+1) den absoluten

Betrag des absoluten Gliedes ausdrückt, also ∏ i = 0 bis 2k +1     xi = (-1)^{2k +1}*a0 = -a0 = -(-1) = +1

also gilt

∑ i = 1 bis 2k +1 (∏ (j = 0 bis 2k +1) xi) / xi = (-1)^{2k} *a1 = +(2k +1)

= ∑ i = 1 bis 2k +1 *(-a0) / xi = +(2k +1)

=> ∑ i = 1 bis 2k +1    1 / xi = +(2k +1)/(-a0) = +(2k +1)/(+1) = +(2k +1)

=> 1/x1 +1/x2 +1/x3 +1/x4 +1/x5 = 2k +1 = 5

5) Der Erwartungswert der Realteil-Kehrwerte ist also my = (2k +1)/(2k +1) = 1

==============================================================

6) Die Varianz der Realteil-Kehrwerte ergibt sich aus der Rechenvereinfachung

sigma^2 = 1/n ∑ (xi -my)^2 = 1/n  ∑(xi^2 -2my*xi +my^2) = 1/n (∑ xi^2) -1/n*2my*(∑xi) +1/n*my^2 *∑ 1

1/n ∑ xi^2 - 2my*(1/n ∑xi) +1/n *n my^2  =  (1/n (∑ xi^2))   -2my^2  +my^2

= (1/n (∑ xi^2))   -my^2

7)  Beispiele für die Summe der Realteil-Kehrwert-Quadrate

k = 1 => n = 3 => ∑ 1/xi^2 = 1/(cos 0°)^2 +1/(cos 120°)^2 +1/(cos 240°)^2 = 9

k = 2 => n = 5 => ∑ 1/xi^2 = 1/(cos 0°)^2 +1/(cos 72°)^2 +1/(cos 144°)^2 +1/(cos 216°)^2

           +1/(cos 288°)^2 = 25

k = 3 => n = 7 => ∑ 1/xi^2 = 1/(cos 0°)^2 +1/(cos 360/7°)^2 +1/(cos 720/7°)^2 +1/(cos 1080/7°)^2

        +1/(cos 1440/7°)^2 +1/(cos 1800/7°)^2 +1/(cos 2160/7°)^2 = 49

die Summe der Kehrwert-Quadrate ist in der Tat (2k +1)^2, das heißt 1/n ∑ 1 / xi^2 = (2k +1)^2/(2k +1)

= 2k +1

8) die Varianz lautet sigma^2 = (1/n (∑ xi^2))   -my^2 = (2k +1) -1^2 = 2k

 ========================================================

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community