Aus Äquivalenzrelation eine Abbildung

Question

Hallo Leute,

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Ich muss beweisen:

Ist $\sim$ eine beliebige Äquivalenzrelation auf $A$ und ist $C=\{\llbracket a \rrbracket \sim \mid a \in A\}$ die Menge der Äquivalenzklassen von $\sim$, so gibt es eine Abbildung $p: A \longrightarrow C$, so dass für alle $a_{1}, a_{2} \in A$ :
$a_{1} \sim a_{2} \Longleftrightarrow p\left(a_{1}\right)=p\left(a_{2}\right)$

Answer 1

Die Abbildung ist

        $p:A\to C,\ a \mapsto [a]_\sim$.

Zeige dass es sich tatsächlich um eine Abbildung handelt und dass sie die geforderte Eigenschaft hat.

Comments

Das heißt ich muss zeigen, dass für jedes a $\in$ A ein Element in C gibt.

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Ich habe noch mal genauer darüber nachgedacht. Das $p$ ist auf jeden Fall eine Abildung, weil die ja zu jedem $a\in A$ das passende $[a]_\sim\in C$ bestimmen kannst.

Du musst deshalb nur noch zeigen, dass $p$ die Eigenschaft

      $a_{1} \sim a_{2} \iff p\left(a_{1}\right)=p\left(a_{2}\right)$

für alle $a_1,a_2\in A$ erfüllt.

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Das heißt ich setze a1 in p ein und schau was da raus kommt und gleich auch für a2.

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Dann bekommst du $[a_1]_\sim$ und $[a_2]_\sim$ raus. Letztendlich musst du also zeigen, dass

        $a_{1} \sim a_{2} \iff [a_1]_\sim = [a_2]_\sim$

für alle $a_1,a_2\in A$ ist.