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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Damit \((U,+,\cdot)\) über einem Körper \(\mathbb K\) ein Untervektorraum ist, muss Folgendes gelten:
(1) \(U\ne\emptyset\quad\)(die Menge ist nicht leer)
(2) \(u\,,\,v\in U\implies u+v\in U\quad\)(abgeschlossen bezüglich der Addition)
(3) \(k\in\mathbb K\,,\, u\in U\implies k\cdot u\in U\quad\)(abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation)
Man kann die Forderungen (1) und (3) auch kombinieren. Nach (1) gibt es ein \(u\in U\). In jedem Körper \(\mathbb K\) gibt es die \(0\). Nach (3) muss daher auch \(0\cdot u=0\) in \(U\) enthalten sein. Mit anderen Worten, in \(U\) muss es immer ein Nullelement geben!
Schauen wir uns deine Patienten mal an:
$$U_1=\left\{\binom{x}{y}\in\mathbb R^2\bigg|y-7x=1\right\}$$Das Nullelement \(\binom{0}{0}\) erfüllt nicht die Bedinung \(y-7x=1\) und liegt daher nicht in \(U_1\).
\(U_1\) ist kein Untervektorraum.
$$U_2=\left\{\binom{x}{y}\in\mathbb R^2\bigg|x\cdot y\ge0\right\}$$
Das Nullelment \(\binom{0}{0}\) erfüllt die Bedinung \(x\cdot y=0\cdot0=0\ge0\quad\checkmark\)
Für die beiden Elemente \(\binom{1}{0}\) und \(\binom{0}{-1}\) ist \(x\cdot y=0\), sie liegen also in \(U_2\).
Für die Summe \(\binom{1}{0}+\binom{0}{-1}=\binom{1}{-1}\) gilt allerdings \(x\cdot y=-1<0\).
\(U_2\) ist daher nicht abgeschlossen bezüglich der Addition, also kein Untervektorraum.
$$U_3=\left\{\binom{x}{y}\in\mathbb R^2\bigg|y-5x=0\right\}$$
Das Nullelement \(\binom{0}{0}\) erfüllt die Bedinung, denn \(0-5\cdot0=0\quad\checkmark\)
Für die Summe \(\binom{x_1}{y_1}+\binom{x_2}{y_2}=\binom{x_1+x_2}{y_1+y_2}\) zweier Elemente aus \(U_3\) gilt:$$(y_1+y_2)-5\cdot(x_1+x_2)=(y_1-5\cdot x_1)+(y_2-5\cdot x_2)=0+0=0\quad\checkmark$$
Für ein Produkt \(k\cdot\binom{x}{y}=\binom{kx}{ky}\) mit \(k\in\mathbb R\) und \(\binom{x}{y}\in U_3\) gilt:$$ky-5kx=k(y-5x)=k\cdot0=0\quad\checkmark$$
Yeah, \(U_3\) ist unser erster Untervektorraum.
$$U_4=\left\{\binom{x}{y}\in\mathbb R^2\bigg|x^2+y^2\le1\right\}$$
Es ist \(2\in\mathbb R\) und \(\binom{1}{0}\in U_4\), denn es erfüllt die Bedinung. Aber für die skalare Multiplikation gilt:$$2\binom{1}{0}=\binom{2}{0}\quad\text{und}\quad 2^2+0^2=4>1$$
\(U_4\) ist also nicht abgeschlossen bezüglich der Skalarmultipliktion, kein Untervektorraum.
$$U_5=\left\{\binom{x}{y}\in\mathbb R^2\bigg|x^2+y^2=0\right\}$$
Nur \(\binom{0}{0}\) erfüllt die Bedinung \(x^2+y^2=0\). Also ist das Nullelement enthalten\(\quad\checkmark\)
Die einzig mögliche Summe zweier Elmente ist \(\binom{0}{0}+\binom{0}{0}=\binom{0}{0}\in U_5\quad\checkmark\)
Für ein \(k\in\mathbb R\) finden wir \(k\binom{0}{0}=\binom{0}{0}\in U_5\quad\checkmark\)
\(U_5\) ist tatsächlich ein Untervektorraum.
$$U_6=\left\{\binom{x}{y}\in\mathbb R^2\bigg|x\ge0\right\}$$
Es ist \((-1)\in\mathbb R\) und \(\binom{1}{0}\in U_6\), aber \((-1)\cdot\binom{1}{0}=\binom{-1}{0}\) verletzt offensichtlich die Bedingung für eine Mitgliedschaft in \(U_6\).
\(U_6\) ist kein Untervektorraum.
