In welchem Punkt besitzt die Lösung eine Tangente?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Differentialgleichung \( y^{\prime\prime} \)-\( y^{\prime} \)-6y=0

welche spezielle Lösung y besitzt im Punkt P(0,1) eine waagerechte Tangente?

Problem/Ansatz:

Wie muss man hier vorgehen?

Answer 1

Hallo,

y''-y'-6y=0

->Charakt. Gleichung: k^2 -k -6=0

-->k₁= 3

k₂= -2

--> Lösung:

\( y(x)=C_{1} e^{-2 x}+C_{2} e^{3 x} \)

----->

welche spezielle Lösung y besitzt im Punkt P(0,1) eine waagerechte Tangente?

setze:

y(0)= 1

y'(0)= 0

---->

1) \( y(x)=C_{1} e^{-2 x}+C_{2} e^{3 x} \)

2)   \( y'(x)=-2 C_{1} e^{-2 x}+3C_{2} e^{3 x} \)

--------------------------------------------------------------
1) \( 1=C_{1} +C_{2}  \)
2)  \( 0=-2 C_{1} +3C_{2}  \)
---------------------------------------------------------------
C₁= 3/5
C₂= 2/5
-->
\( y(x)=(3/5)  * e^{-2 x}+(2/5) * e^{3 x} \)