0 Daumen
1,3k Aufrufe

Wie geht man an solch eine Aufgabe heran?

Kurve: 2x^2 + 2xy + 4y^2 - 56 = 0. In welchem Punkt ist die Steigung 1? Tangentengleichung?

Wie rechnet man solch eine Aufgabe? Muss man x=1 setzen und y ausrechnen?

 

Berechnen Sie den Punkt der durch die Gleichung

2x2+2xy+4y2-56=0

definierten Kurve, an dem die Tangente an die Kurve die Steigung 1 besitzt. Es gibt 2 solcher Punkte. Betrachten Sie nur den Punkt mit positiver x-Komponente. Geben Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve in diesem Punkt vollständig an.

Avatar von
Du solltest Windows warten und ist das ein Steam-Icon rechts unten? Counter Strike? Wer nutzt denn heute noch ICQ, oh gott!

Deshalb gibt es Schreibregeln... einfach Text aus der PDF herauskopieren und einfügen! :) Wenn Adobe Reader Mist ist, nimm Foxit PDF Reader...

Berechnen Sie den Punkt der durch die Gleichung

2x2+2xy+4y2-56=0

definierten Kurve, an dem die Tangente an die Kurve die Steigung 1 besitzt. Es gibt 2 solcher Punkte. Betrachten Sie nur den Punkt mit positiver x-Komponente. Geben Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve in diesem Punkt vollständig an.

Wie rechnet man solch eine Aufgabe? Muss man x=1 setzen und y ausrechnen?

Wenn schon müsstest du die erste Ableitung = 1 setzen. Falls du die Gleichung nach y auflösen kannst (ist eine quadratische Gleichung), kannst du sie vermutlich auch ableiten. Scheint mir aber nicht der schnellste Weg zu sein.

Habe den Text von Anonym jetzt eingefügt.

Es handelt sich hier um die Gleichung einer Ellipse.

Vielleicht kannst du mit den folgenden Angaben und Umformungen dieser Gleichung etwas anfangen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%5E2+%2B+2xy+%2B+4y%5E2+-+56+%3D+0%2C+
Der Lösungsweg ist klar, aber es gibt viel zu rechnen

1.) nach y umstellen

y = f(x) = - x / 4  - ( √ 7)  / 4 * √ ( 32 - x^2 )

2.) 1.Ableitung bilden

f ´(x) = ( √ 7 * x  ) / ( 4 * √ ( 32 - x^2 ) ) - 1/4

3.)  Steigung gleich 1

f ´(x) = 1 = ( √ 7 * x  ) / ( 4 * √ ( 32 - x^2 ) ) - 1/4

4.) x ausrechnen

x = 5

Ich habe hierzu ein CAS-Programm zum ausrechnen verwendet.

  mfg Georg
Welches CAS Programm verwendest du denn?
mathecoach @ mathecoach.de

MuPad Pro 4 von 2007

mfg Georg

2 Antworten

+1 Daumen

2x^2 + 2xy + 4y^2 - 56 = 0

Zunächst mal ins das eine quadratische Gleichung die wir nach y auflösen wollen. Dazu können wir durch 4 teilen und die pq-Formel anwenden.

y^2 0.5xy 0.5x^2 - 14 = 0

p = 0.5x
q = 
0.5x^2 - 14

y = -p/2 ± √((p/2)^2 - q)
y = -(0.5x)/2 ± √((0.5x/2)^2 - (0.5x^2 - 14))
y = -x/4 ± √(14 - 0.4375x^2)

y = - x/4 + √(14 - 0.4375·x^2)
y' = - √7·x/(4·√(32 - x^2)) - 1/4 = 1
x = -5

y(-5) = 3

t(x) = 1(x + 5) + 3

y = - x/4 - √(14 - 0.4375·x^2)
y' = √7·x/(4·√(32 - x^2)) - 1/4 = 1
x = 5

y(5) = -3

t(x) = 1(x - 5) - 3

Skizze:

Avatar von 477 k 🚀
0 Daumen

Annahme du kommst irgendwie auf die impliziten Ableitungen. Z.B. ∂y(x)/∂x , so kann man diese = 1 setzen.

Deshalb

2x+y = -x - 4y

3x = - 5y.

x= (-5/3) y

in die Kurvengleichung einsetzen

2(5/3 y)^2 - 10/3 y^2 + 4y^2 = 56

(50/9 - 10/3 + 4)y^2 = 56

---> y = ±3

Einsetzen -----> 

x=±5

Somit x=5 und y=-3 gesuchter Punkt. (vgl. anderen Rechenweg von Georgborn)

Tangentengleichung.

y = 1*x + q       , (5|-3) einsetzen

-3 = 5+q

-8 = q

Tangentengleichung y = x-8

Avatar von 162 k 🚀

Ich hab mir inzwischen angeschaut, wie Wolframalpha diese impliziten Ableitungen bestimmt.

Das ist eigentlich ganz einfach:

Beachte, dass in der Schritt für Schritt-Lösung jeder Schritt erklärt wird, aber in der nächsten Zeile oft noch umgeordnet wird. Die Ausschnitte sind z.T. überlappend. Sollten aber vollständig sein.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=implicite+derivation+2x%5E2+%2B+2xy+%2B+4y%5E2+-+56+%3D+0

Hier die Version, in der y als Funktion von x als y(x) betrachtet wird. x ist einfach x.

Die Ableitung von x^2 ist 2x, der Summand rutscht bei WolframAlpha nach hinten. Deshalb gleich nochmals reinkopiert:

Zum Bestimmen von y'(x) benutzt man ganz einfach den Satz von der impliziten Funktion.

@ Ché Netzer: Danke für die Info. Kommt denn bei den impliziten Ableitungen zwingend der Kehrwert raus? 

F(x,y) = 2x2 + 2xy + 4y2 - 56 = 0

∂F/∂x = 4x + 2y

∂F/∂y = 2x + 8y

y'(x) = - 1/(2x+8y) * (4x +2y) = - (4x+2y)/(2x+8y) = -(2x+y)/(x+4y)

Gemäss Formel in Zusammenfassung hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten_Funktion#Satz_von_der_Umkehrabbildung

Wie meinst du das? Ob y'(x) der Kehrwert von x'(y) ist, wenn man nach beiden Variablen auflösen kann? (das ist dann einfach die Ableitung der Umkehrfunktion) Oder ob y'(x) immer [wenn Fy ungleich null] -Fx/Fy ist? Ja, das ist die Aussage des Satzes.

Oder welchen Kehrwert meinst du?

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community