Zeige \int_{a}^{b} L(f(t))dt = L( \int_{a}^{b} f(t) dt )

Question

Aufgabe:

Sei a<b und f,g:[a,b] → ℝ^d seien stetig.

a) Sei L: ℝ^d →  ℝ^q eine lineare Abbildung. Zeige \( \int\limits_{a}^{b} \) L(f(t))dt = L( \( \int\limits_{a}^{b} \) f(t) dt)

Answer 1

Hallo,

im Detail hängt die Antwort davon ab, wie Ihr das Integral definiert habt.

Pauschal ist es so, dass man zu f eine Folge \((f_n)\) von Treppenfunktionen definiert, die gleichmäßig gegen f konvergierten. Dann ist

$$\int_a^bf= \lim \int_a^bf_n$$

Nun gilt für die Matrizenmultiplikation, dass \(Lf_n\) ebenfalls eine Treppenfunktion ist und dass \(Lf_n \to Lf\) gleichmäßig.

Daher:

$$L(\int_a^bf)=L \left(\lim \int_a^bf_n\right)= \lim \left(L \int_a^bf_n \right)$$

$$=\lim \left( \int_a^bLf_n\right)= \int_a^bLf$$

Gruß Mathhilf