Aufgabe: Bestimmen Sie jeweils alle komplexen Lösungen der angegebenen Gleichungen.
(a) z4 =1/81(b) (z − 1)3 = −64/27*i
Problem/Ansatz:
Hallo. Ich weiß, dass es bei der a) 4 komplexe Lösungen und bei der b) 3 komplexe Lösungen gibt. Jedoch weiß ich nicht, wie man die komplexen Lösungen angeben kann. Danke für die Hilfe.
Tipp: z4 = a4 ist äquivalent zu 0 = z4 - a4 = (z2 - a2)·(z2 + a2) = (z - a)·(z + a)·(z2 + a2).
Hilft mir das aber alle komplexen Lösungen herauszufinden? Blicke da gerade nicht durch :(
Jetzt gilt es noch, z - a = 0 ∨ z + a = 0 ∨ z2 + a2 = 0 zu lösen.
z4=181z^4 = \frac{1}{81} z4=811
z4−181=0z^4 -\frac{1}{81}=0 z4−811=0
3.Binom:
(z2−19)∗(z2+19)=0(z^2 -\frac{1}{9})*(z^2 +\frac{1}{9})=0 (z2−91)∗(z2+91)=0
Satz vom Nullpodukt:
1.)(z2−19)=0(z^2 -\frac{1}{9})=0(z2−91)=0
(z−13)∗(z+13)=0(z -\frac{1}{3})*(z+\frac{1}{3})=0(z−31)∗(z+31)=0
z₁=13z₁=\frac{1}{3}z₁=31
z₂=−13z₂=-\frac{1}{3}z₂=−31
2.)(z2+19)=0(z^2 +\frac{1}{9})=0(z2+91)=0
z2=−19=19∗i2z^2 =-\frac{1}{9}=\frac{1}{9}*i^2z2=−91=91∗i2 weil i2=−1i^2=-1i2=−1
z₃=13∗iz₃=\frac{1}{3}*iz₃=31∗i
z₄=−13∗iz₄=-\frac{1}{3}*iz₄=−31∗i
Oh mein Gott Dankeschön!
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