Aufgabe zu Basis und Basisaustausch

Question

Aufgabe:

Sei n ≥ 3 und v₁, . . . , v_n ∈ Kⁿ eine Basis von Kⁿ.

1. Finden Sie einen Vektor v ∈ Kⁿ, so dass für alle i = 1, . . . , n die Vektoren
v, v₁, . . . , v_i-1, v_i+1, . . . , v_n eine Basis von Kⁿ sind.

2. Finden Sie entweder zwei Vektoren w₁, w₂ ∈ Kⁿ, so dass für alle i, j ∈ {1, . . . , n} mit i < j die Vektoren w₁, w₂, v₁, . . . , v_i−1, v_i+1, . . . , v_j−1, v_j+1, . . . , v_n eine Basis von Kⁿ sind, oder erklären Sie, warum das nicht immer möglich ist.

Problem/Ansatz:

Nr.1: Also ich weiß durchaus das v₁, bis , v_n eine Basis darstellen somit ist müsste mein v = der fehlende Vektor v_i sein oder ? Doch wie würde man diesen berechnen?

Nr. 2: Lass ich noch offen da ich erstmal Nr. 1 verstehen möchte

Answer 1

1. $v=\sum\limits_{k=1}^n v_k$

Comments

Könnte ich v dann nicht weglassen ? Fehlt dann nicht trotzdem einer ? Oder liegt das daran das i = 1,....,n ist und somit die vi Vektoren gar nicht relevant sind da die eh nur eine L-Kombination sind?

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Es heißt doch:

" ...  die Vektoren v, v1, . . . , vi-1, vi+1, . . . , vn eine Basis von Kn sind.  "

Das sind ja n Stück; denn du nimmst das neue v und lässt bei den

anderen einen weg, den mit der Nummer i.

D.h. egal welchen du weglässt, die restlichen n-1 Stück und das v

bilden zusammen eine Basis. Und zwar, weil man den weggelassenen

ja durch v - (v1+...+v_i-1+v_i+1+...+v_n) darstellen kann.

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Danke dir, hab ich gecket :D

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Ist die Lösung bei 2 richtig? : w1 = w2 + $\sum\limits_{k=1}^n v_k$ und w2 = w1 + $\sum\limits_{k=1}^n v_k$ @mathef

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w1 = w2 + $\sum\limits_{k=1}^n v_k$ und w2 = w1 + $\sum\limits_{k=1}^n v_k$

Die 2. bei der 1. eingesetzt gäbe

==> w1 = w1 + $\sum\limits_{k=1}^n v_k$ + $\sum\limits_{k=1}^n v_k$

==> 0 =  $\sum\limits_{k=1}^n v_k$ + $\sum\limits_{k=1}^n v_k$

==> 0 =  $\sum\limits_{k=1}^n 2v_k$ 

im Widerspruch zur lin. Unabhängigkeit der v_k .

Ich vermute mal, dass das 2. nicht geht, hab aber so recht kein Argument.