Aloha :)
Wegen \(e^x\ge1+x\) für alle \(x\in\mathbb R\) gilt für \(k\ge1\):$$e^{-1}=\left(e^{-\frac1k}\right)^k\ge\left(1-\frac1k\right)^k$$
Damit können wir die Summe abschätzen:$$S=\sum\limits_{k=1}^\infty\left(1-\frac1k\right)^{k^2}=\sum\limits_{k=1}^\infty\left(1-\frac1k\right)^{k\cdot k}=\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\left(1-\frac1k\right)^k\right)^k$$$$\phantom S\le\sum\limits_{k=1}^\infty\left(e^{-1}\right)^k<\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac1e\right)^k=\frac{1}{1-\frac1e}=\frac{e}{e-1}<\infty$$
Daher konvergiert die Reihe.
