Aufgabe:
Gegeben seien die durch die Termex2−2x+1,−x3−x,3x−2 und x3+x2+2x−1x^{2}-2 x+1,-x^{3}-x, 3 x-2 \text { und }x^{3}+x^{2}+2 x-1x2−2x+1,−x3−x,3x−2 und x3+x2+2x−1
definierten Polynome p1,p2,p3,p4∈P(R) p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} \in \mathcal{P}(\mathbb{R}) p1,p2,p3,p4∈P(R)
1) Zeigen Sie, dass die Liste p1,p2,p3,p4 p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} p1,p2,p3,p4 linear abhängig ist.
Ansatz:
a⋅(x2−2x+1)+b⋅(−x3−x)a \cdot(x^{2}-2 x+1) +b \cdot(-x^{3}-x) a⋅(x2−2x+1)+b⋅(−x3−x) +c⋅(3x−2)+d⋅(x3+x2+2x−1)=+ c \cdot (3 x-2) + d \cdot(x^{3}+x^{2}+2 x-1) = +c⋅(3x−2)+d⋅(x3+x2+2x−1)=0-Polynom.
Forme um zu
(… )x3+(… )x2+(… )x+(… )1= (\dots)x^{3}+(\dots)x^{2}+(\dots)x+(\dots)1= (…)x3+(…)x2+(…)x+(…)1=0-Polynom.
Da x3,x2,x,1 x^{3},x^{2}, x,1 x3,x2,x,1 linear unabhängig sind, sind die 4
Klammern alle gleich 0 und daraus bekommst du
andere Lösungen als a=b=c=d=0. q.e.d.
Das waere Mein 0-Polynom
Text erkannt:
Sei λ1,λ2,λ3,λ4∈R \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4} \in \mathbb{R} λ1,λ2,λ3,λ4∈R so gewählt. class λ1p1+λ2p2+λ3p3λ4p1=0 \lambda_{1} p_{1}+\lambda_{2} p_{2}+\lambda_{3 p^{3}} \lambda_{4} p_{1}=0 λ1p1+λ2p2+λ3p3λ4p1=0 istEinsetzen liefert:λ1(x2−2x+1)+λ2(−x3−x)+λ3(3x−2)+λ4(x3+x2+2x−1)⇔λ1x2+(−2xλ1)+λ1+(−x3λ2)+(−xλ2)+3xλ3+(−2λ3)+x3λ4+x2λ4+2xλ4+(−λ4)⇒x3(−λ2+λ4)+x2(λ1+λ4)+x(−2λ1−λ2+3λ3+2λ4)+(λ1−2λ3−λ4)=x3⋅0+x2⋅2+x⋅0+1⋅(−2) \begin{aligned} & \lambda_{1}\left(x^{2}-2 x+1\right)+\lambda_{2}\left(-x^{3}-x\right)+\lambda_{3}(3 x-2)+\lambda_{4}\left(x^{3}+x^{2}+2 x-1\right) \\ \Leftrightarrow & \lambda_{1} x^{2}+\left(-2 x \lambda_{1}\right)+\lambda_{1}+\left(-x^{3} \lambda_{2}\right)+\left(-x \lambda_{2}\right)+3 x \lambda_{3}+\left(-2 \lambda_{3}\right)+x^{3} \lambda_{4}+x^{2} \lambda_{4}+2 x \lambda_{4}+\left(-\lambda_{4}\right) \\ \Rightarrow & x^{3}\left(-\lambda_{2}+\lambda_{4}\right)+x^{2}\left(\lambda_{1}+\lambda_{4}\right)+x\left(-2 \lambda_{1}-\lambda_{2}+3 \lambda_{3}+2 \lambda_{4}\right)+\left(\lambda_{1}-2 \lambda_{3}-\lambda_{4}\right) \\ =& x^{3} \cdot 0+x^{2} \cdot 2+x \cdot 0+1 \cdot(-2) \end{aligned} ⇔⇒=λ1(x2−2x+1)+λ2(−x3−x)+λ3(3x−2)+λ4(x3+x2+2x−1)λ1x2+(−2xλ1)+λ1+(−x3λ2)+(−xλ2)+3xλ3+(−2λ3)+x3λ4+x2λ4+2xλ4+(−λ4)x3(−λ2+λ4)+x2(λ1+λ4)+x(−2λ1−λ2+3λ3+2λ4)+(λ1−2λ3−λ4)x3⋅0+x2⋅2+x⋅0+1⋅(−2)
Jetzt weiss ich allerdings nicht, wie man das als Matrix darstellst. Das wäre meine Idee/Versuch.
↪ Koeffizientenvergleich. I) −λ2+λ4=0 II) λ1+λ4=2 \begin{array}{ll}\hookrightarrow \text { Koeffizientenvergleich. } & \text { I) }-\lambda_{2}+\lambda_{4}=0 \\ \text { II) } \lambda_{1}+\lambda_{4}=2\end{array} ↪ Koeffizientenvergleich. II) λ1+λ4=2 I) −λ2+λ4=0
III) −2λ1−λ2+3λ3+2λ4=0 -2 \lambda_{1}-\lambda_{2}+3 \lambda_{3}+2 \lambda_{4}=0 −2λ1−λ2+3λ3+2λ4=0IV) λ1−2λ3−λ4=−2 \lambda_{1}-2 \lambda_{3}-\lambda_{4}=-2 λ1−2λ3−λ4=−2
(0−101010012−2−132010−2−12) \left(\begin{array}{cccc|c}0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & -1 & 2\end{array}\right) ⎝⎜⎜⎜⎛01−21−10−10003−2112−10202⎠⎟⎟⎟⎞
Letzte Zeile meinte ich -2 statt 2
Das 0-Polynom ist doch
x3⋅0+x2⋅0+x⋅0+1⋅0 x^{3} \cdot 0+x^{2} \cdot 0+x \cdot 0+1 \cdot 0 x3⋅0+x2⋅0+x⋅0+1⋅0
also die Matrix
(0−101010010−2−132010−2−10)\left(\begin{array}{cccc|c}0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -2& -1 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\end{array}\right) ⎝⎜⎜⎜⎛01−21−10−10003−2112−10000⎠⎟⎟⎟⎞
2. Zeile und erste tauschen gibt
(100100−1010−2−132010−2−10)\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\end{array}\right) ⎝⎜⎜⎜⎛10−210−1−10003−2112−10000⎠⎟⎟⎟⎞
3. Zeile + 2* 1. Zeile und 4. minus 1.
(100100−10100−134000−2−20)\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -2 & 0\end{array}\right) ⎝⎜⎜⎜⎛10000−1−10003−2114−20000⎠⎟⎟⎟⎞
3. minus 2.
(100100−10100033000−2−20)\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -2 & -2 & 0\end{array}\right) ⎝⎜⎜⎜⎛10000−100003−2113−20000⎠⎟⎟⎟⎞
3*4. + 2*3. gibt
(100100−10100033000000)\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) ⎝⎜⎜⎜⎛10000−100003011300000⎠⎟⎟⎟⎞
also gibt es andere Lösungen als a=b=c=d=0.
und damit sind die Vektoren lin. abh.
(Ich hatte ursprünglich UNabh. gelesen.)
Also ist das 0-Polynom immer gleich?
x4*0+x3*0+x2*0+x*0+1*0?
Klar, es muss ja für jeden Wert von x den Wert 0 liefern.
Okay Danke!
Ist denn mein Koeffizientenvergleich richtig?
Also das überall =0 stehen muss, muss ich noch ändern.
Ja, das ist OK.
Nochmal eine Frage.
Wie zeige ist jetzt, dass die linear abhängig sind?
⇒ \Rightarrow ⇒ IV) 0⋅λ4=0 0 \cdot \lambda_{4}=0 \quad 0⋅λ4=0 d.h λ4=0 \quad \lambda_{4}=0 λ4=0⟹ \Longrightarrow ⟹ III) 3⋅λ3+3⋅λ4=0 3 \cdot \lambda_{3}+3 \cdot \lambda_{4}=0 3⋅λ3+3⋅λ4=0⟹ \Longrightarrow ⟹ II) −1⋅λ2+1⋅λ4=0 -1 \cdot \lambda_{2}+1 \cdot \lambda_{4}=0 \quad −1⋅λ2+1⋅λ4=0, dh λ2=λ4=0 \lambda_{2}=\lambda_{4}=0 λ2=λ4=0⇔ \Leftrightarrow ⇔ I) 1⋅λ1+1⋅λ4=0 1 \cdot \lambda_{1}+1 \cdot \lambda_{4}=0 1⋅λ1+1⋅λ4=0
Wenn das Gleichungssystem außer
λ1=λ2=λ3=λ4=0 \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\lambda_{4}=0 λ1=λ2=λ3=λ4=0
noch andere Lösungen hat, z.B. eine mit λ1=1 \lambda_{1}=1 λ1=1
Das ist ja bei lambda 1 und lambda 3 der Fall?
Wie schreibe ich das auf?
Etwa so : Wenn du Werte hast, bei denen mindestens einer nicht 0 ist
λ1=…λ2=…λ3=…λ4=…\lambda_{1}=\dots\lambda_{2}=\dots\lambda_{3}=\dots\lambda_{4}=\dots λ1=…λ2=…λ3=…λ4=…
ist eine von der 0-Lösung verschiedene Lösung, also sind die
Vektoren lin. abh.
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