Basis, Nullabbildung, Vekorräume, Lineare Unabhängigkeit

Nächste »
0 Daumen
586 Aufrufe

Seien M≠∅ eine Menge, K ein Ko¨rper. Sei V : = Abb(M,K) die Menge aller Abbildungen von M nach K.\text{Seien } M \neq \emptyset \text { eine Menge, K ein Körper. Sei V:= Abb(M,K) die Menge aller Abbildungen von M nach K.}

Seien f,g∈V und λ∈K. Wir definieren eine Addition und Skalarmultiplikation auf V wie folgt : \text{Seien f,g} \in V \text { und }\lambda \in K. \text { Wir definieren eine Addition und Skalarmultiplikation auf V wie folgt:}

(f+g)(m) : =f(m)+Kg(m) fu¨r alle m∈M(f+g)(m):= f(m)+_K g(m)\text{ für alle } m \in M

(λ ⋅ f)(m) : =λ⋅Kf(m) fu¨r alle m∈M(\lambda \text { }\cdot\text { }f)(m):= \lambda\cdot_Kf(m)\text{ für alle } m \in M

a)  Sei o : M→K die Nullabbildung, d.h. o(m)=0K fu¨r alle m∈M. Zeigen Sie, dass (V,o,+,⋅)ein K-Vektorraum ist.\text{ Sei }o:M\rightarrow K \text{ die Nullabbildung, d.h. } o(m)=0_K \text{ für alle } m \in M. \text{ Zeigen Sie, dass } (V,o,+,\cdot) \text{ein K-Vektorraum ist.}

b) Betrachten Sie die Menge S : ={em : m∈M}der Abbildungen em : M→K mit\text{Betrachten Sie die Menge } S:= \{e_m:m\in M\}\text{der Abbildungen } e_m:M\rightarrow K \text{ mit}

em(x){1K fu¨r x=m0K fu¨r x≠me_m(x)\left\{\begin{matrix}1_K \text{ für }x=m\\0_K \text{ für }x\neq m\end{matrix}\right.

Zeigen Sie, dass S linear unabha¨ngig ist.\text{Zeigen Sie, dass S linear unabhängig ist.}

c) Sei M endlich. Zeigen Sie, dass S eine Basis von V ist\text{Sei M endlich. Zeigen Sie, dass S eine Basis von V ist}

d)  Sei M unendlich und sei f : M→K die Abbildung, die konstant den Wert 1K annimmt.\text{ Sei M unendlich und sei } f:M\rightarrow K \text{ die Abbildung, die konstant den Wert } 1_K \text{ annimmt.}

 Zeigen Sie, dassf∉L(S).Folgern Sie, dass S keine Basis von V ist\text{ Zeigen Sie, dass} f\notin L(S). \text{Folgern Sie, dass S keine Basis von V ist}


Wir sind jetzt schon weiter im Thema, ich hänge aber noch ziemlich hinterher und weiß garnicht, wo ich anfangen soll. Ich bin sehr dankbar für Tipps bzw. Ratschläge, in welchen Schritten ich das Ganze angehen kann.

Avatar von
📘 Siehe "Abbildung" im Wiki

1 Antwort

0 Daumen
Avatar von 289 k 🚀

Danke, da habe ich Hilfe zu a) gefunden.

Hast du vielleicht eine Idee zu b,c oder d (oder im besten Fall zu allen drei)? :)

von

Bei b) wäre ja der klassische Ansatz:

Sei für jedes m∈M   am ∈ K und ∑m∈Mam⋅em=ο \sum\limits_{m \in M} a_m \cdot e_m = ο . #

Dabei ist ο ο   wie bei a) die Nullabbildung.

Also gilt für alle x∈M (∑m∈Mam⋅em)(x)=0K ( \sum\limits_{m \in M} a_m \cdot e_m )(x)= 0_K .

Nach Def. der Verknüpfungen in V also

∑m∈Mam⋅em(x)=0K \sum\limits_{m \in M} a_m \cdot e_m( x)= 0_K .

Nun sind aber die Werte von em(x) e_m( x) außer für x=m immer 0,

also bleibt nur   ax⋅ex(x)=0 a_x \cdot e_x( x) = 0

 ==>    ax⋅1K=0 a_x \cdot 1_K = 0    ==>    ax=0 a_x = 0

Also sind in der Summe # alle   am=0 a_m = 0 , also

S lin. unabh.

Bei c) und d) habe ich auch noch nicht den rechten Zugang gefunden.

von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen