Beweis Primzahlen mit Modulo

Question

Hallo

ich sitze an folgender Aufgabe:
Seien p≠q ungerade Primzahlen. Zeigen Sie dass die Funktion p ↦ $\frac{q}{p}$  nur von der Restklasse von p modulo q bzw. 4q abhängt, je nach dem, ob q ≡ 1 oder 3 modulo 4 ist.

Ich weiß, dass $\frac{p}{q}$= $\frac{q}{p}$, falls p ≡ 1 mod 4 oder q≡ 1 mod 4 oder eben beides.
Falls p ≡ q ≡ 3 mod 4, so ist $\frac{p}{q}$= - $\frac{q}{p}$.
Aber wie gehts weiter??

Ich bin dankbar für jede Hilfe!!

Comments

Warum hast du die Legendre-Symbole ihrer Klammerung
beraubt ? So, wie du es geschrieben hast, ist es unverständlich !

Answer 1

Der Fall $q\equiv 1$ mod $4$ dürfte wohl klar sein.

Nun besagt eine Gestalt des quadratischen Reziprozitätsgesetzes:

$\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{(p-1)/2\cdot (q-1)/2}\left(\frac{p}{q}\right)=\left(\frac{-1}{q}\right)^{(p-1)/2}\left(\frac{p}{q}\right)$.

Im Falle $q\equiv 3$ mod $4$ ist dies

$=(-1)^{(p-1)/2}\cdot\left(\frac{p}{q}\right)$.

Der erste Faktor hängt von $p$ mod $4$, der zweite von $p$ mod $q$ ab.

Das Produkt hängt also nach dem chinesischen Restsatz nur von

$p$ mod $4q$ ab, da $4$ und $q$ relativ prim sind.