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Aufgabe:

$$\text{Sei } (a,b) \subset\mathbb R \text{ ein beschränktes, offenes Intervall und }f:\space (a,b)\rightarrow \mathbb R \text{ stetig. Beweise die folgende Aussage:} \newline \text{Die Funktion }f\text{ ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn sie eine stetige Fortsetzung} [a,b] \text{ besitzt.} \newline \text{Eine Fortsetzung der Funktion }f \text{ auf ganz }[a,b] \text{ ist jede Funktion}\tilde f:[a,b] \rightarrow \mathbb R \text{ mit } \tilde f (x)=f(x) \space\forall x\in (a,b).$$

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Eine stetige Funktion \(F:[a,b] \to \mathbb{R}\) ist gleichmäßig stetig - ich gehe davon aus, dass Ihr das bewiesen habt. Wenn also \(f:(a,b) \to \mathbb{R}\) eine stetige Fortsetzung F auf [a,b] hat, dann ist f notwendig gleichmäßig stetig. Das ist also erledigt.

Sei jetzt \(f:(a,b) \to \mathbb{R}\) gleichmäßig stetig, d.h.

$$\forall \epsilon>0: \exists \delta >0: \forall x,y \in (a,b): |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \epsilon \text (1)$$

Wir wollen die stetige Fortsetzung von f im Punkt a als Funktionsgrenzwert definieren:

$$F(a):= \lim_{x \to a}f(x)$$

Dazu müssen wir wissen, dass dieser Grenzwert existiert. Sei also \((x_n)\) eine Folge in (a,b) mit \(x_n \to a\).Wir benutzen das Cauchy-Kriterium: Sei \(\epsilon>0\) gegeben, dann wählen wir dazu \(\delta\) nach (1). Wei \((x_n)\) Cauchy-Folge ist:

$$\exists N \in \mathbb{N}: \forall n,m \geq N: \quad |x_m-x_n| < \delta$$

Wegen (1) folgt:

$$\exists N \in \mathbb{N}: \forall n,m \geq N: \quad |f(x_m)-f(x_n)| < \epsilon$$

Damit ist \((f(x_n))\) eine Cauchy-Folge und konvergiert.

Wenn wir jetzt eine andere Folge \(y_n \to a\), folgt genauso, dass \(f(y_n)\) konvergiert, aber wir muüssen noch zeigen, dass \((f(y_n))\) gegen denselben Grenzwert konvergiert wie \((f(x_n))\). Das ist aber analog zum Konvergenzbeweis.

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