Eine stetige Funktion F : [a,b]→R ist gleichmäßig stetig - ich gehe davon aus, dass Ihr das bewiesen habt. Wenn also f : (a,b)→R eine stetige Fortsetzung F auf [a,b] hat, dann ist f notwendig gleichmäßig stetig. Das ist also erledigt.
Sei jetzt f : (a,b)→R gleichmäßig stetig, d.h.
∀ϵ>0 : ∃δ>0 : ∀x,y∈(a,b) : ∣x−y∣<δ⇒∣f(x)−f(y)∣<ϵ(1)
Wir wollen die stetige Fortsetzung von f im Punkt a als Funktionsgrenzwert definieren:
F(a) : =x→alimf(x)
Dazu müssen wir wissen, dass dieser Grenzwert existiert. Sei also (xn) eine Folge in (a,b) mit xn→a.Wir benutzen das Cauchy-Kriterium: Sei ϵ>0 gegeben, dann wählen wir dazu δ nach (1). Wei (xn) Cauchy-Folge ist:
∃N∈N : ∀n,m≥N : ∣xm−xn∣<δ
Wegen (1) folgt:
∃N∈N : ∀n,m≥N : ∣f(xm)−f(xn)∣<ϵ
Damit ist (f(xn)) eine Cauchy-Folge und konvergiert.
Wenn wir jetzt eine andere Folge yn→a, folgt genauso, dass f(yn) konvergiert, aber wir muüssen noch zeigen, dass (f(yn)) gegen denselben Grenzwert konvergiert wie (f(xn)). Das ist aber analog zum Konvergenzbeweis.