0 Daumen
637 Aufrufe

Aufgabe:

Sei (a,b)R ein beschra¨nktes, offenes Intervall und f :  (a,b)R stetig. Beweise die folgende Aussage : Die Funktion f ist genau dann gleichma¨ßig stetig, wenn sie eine stetige Fortsetzung[a,b] besitzt.Eine Fortsetzung der Funktion f auf ganz [a,b] ist jede Funktionf~ : [a,b]R mit f~(x)=f(x) x(a,b).\text{Sei } (a,b) \subset\mathbb R \text{ ein beschränktes, offenes Intervall und }f:\space (a,b)\rightarrow \mathbb R \text{ stetig. Beweise die folgende Aussage:} \newline \text{Die Funktion }f\text{ ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn sie eine stetige Fortsetzung} [a,b] \text{ besitzt.} \newline \text{Eine Fortsetzung der Funktion }f \text{ auf ganz }[a,b] \text{ ist jede Funktion}\tilde f:[a,b] \rightarrow \mathbb R \text{ mit } \tilde f (x)=f(x) \space\forall x\in (a,b).

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Eine stetige Funktion F : [a,b]RF:[a,b] \to \mathbb{R} ist gleichmäßig stetig - ich gehe davon aus, dass Ihr das bewiesen habt. Wenn also f : (a,b)Rf:(a,b) \to \mathbb{R} eine stetige Fortsetzung F auf [a,b] hat, dann ist f notwendig gleichmäßig stetig. Das ist also erledigt.

Sei jetzt f : (a,b)Rf:(a,b) \to \mathbb{R} gleichmäßig stetig, d.h.

ϵ>0 : δ>0 : x,y(a,b) : xy<δf(x)f(y)<ϵ(1)\forall \epsilon>0: \exists \delta >0: \forall x,y \in (a,b): |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \epsilon \text (1)

Wir wollen die stetige Fortsetzung von f im Punkt a als Funktionsgrenzwert definieren:

F(a) : =limxaf(x)F(a):= \lim_{x \to a}f(x)

Dazu müssen wir wissen, dass dieser Grenzwert existiert. Sei also (xn)(x_n) eine Folge in (a,b) mit xnax_n \to a.Wir benutzen das Cauchy-Kriterium: Sei ϵ>0\epsilon>0 gegeben, dann wählen wir dazu δ\delta nach (1). Wei (xn)(x_n) Cauchy-Folge ist:

NN : n,mN : xmxn<δ\exists N \in \mathbb{N}: \forall n,m \geq N: \quad |x_m-x_n| < \delta

Wegen (1) folgt:

NN : n,mN : f(xm)f(xn)<ϵ\exists N \in \mathbb{N}: \forall n,m \geq N: \quad |f(x_m)-f(x_n)| < \epsilon

Damit ist (f(xn))(f(x_n)) eine Cauchy-Folge und konvergiert.

Wenn wir jetzt eine andere Folge ynay_n \to a, folgt genauso, dass f(yn)f(y_n) konvergiert, aber wir muüssen noch zeigen, dass (f(yn))(f(y_n)) gegen denselben Grenzwert konvergiert wie (f(xn))(f(x_n)). Das ist aber analog zum Konvergenzbeweis.

Avatar von 14 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage