Geometrie Aufgabe Linerare Funktionen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Dreiecke ABnCn mit A (1 |-2), B, (x + 2|0) und C, (×| - 0,5x + 8).
* Zeichne die Dreiecke AB1C1, für x = 1 und AB2C2 für × = 8 in ein Koordinatensystem ein und berechne den Flächeninhalt A1, des Dreiecks AB1C1

* Zeige durch Rechnung, dass sich der Flächeninhalt der Dreiecke ABnCn wie folgt in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Cn darstellen lässt:
A(x) = (-0,25x²+3,75x+6) FE

* Berechne mit diesem Term den Flächeninhalt A2, des Dreiecks AB2C2


* Für welche Belegung von x wird der Flächeninhalt eines Dreiecks maximal? Berechne A'max'

Answer 1

Hallo,

* Zeichne die Dreiecke AB1C1, für x = 1 und AB2C2 für × = 8 in ein Koordinatensystem ein und berechne den Flächeninhalt A1, des Dreiecks AB1C1

Das Dreieck $\triangle AB_1C_1$ ist das grüne.

Sein Flächeninhalt $A_1$ lässt sich einfach berechnen, da die Punke $A$ und $C_1$ eine gemeinsame X-Koordinate haben$$A_1 = \frac{1}{2}|AC_1| (B_{1x}-A_x) )= \frac{1}{2}(7,5-(-2)) (3-1) = 9,5$$

* Zeige durch Rechnung, dass sich der Flächeninhalt der Dreiecke ABnCn wie folgt in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Cn darstellen lässt:
A(x) = (-0,25x²+3,75x+6) FE

Der Flächeinhalt $A$ eines Dreiecks in der Ebene lässt sich über das Kreuzprodukt zweier Vektoren berechnen, die die Seiten des Dreiecks abbilden. Konkret gilt hier$$\begin{aligned}A(x)&=\frac{1}{2}(B-A)\times(C-A)\\ &=\frac{1}{2}\left(\begin{pmatrix} x+2\\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}\right) \times\left(\begin{pmatrix} x\\-0,5x+8 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}\right)\\ &=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} x+1\\2 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x-1\\-0,5x+10 \end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{2}((x+1)(-0,5x+10) - 2(x-1))\\ &= -0,25x^2 +3,75x +6 \end{aligned}$$Den Rest versuche bitte alleine. Falls Du Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Ich bin dank ihnen jetzt sehr gut zurecht gekommen Danke!

Jedoch verstehe ich die Letzte Frage noch nicht oder kann sie mit meinem Wissen noch nicht lösen.

"Für welche Belegung von x wird der Flächeninhalt eines Dreiecks maximal? Berechne Amax"

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Ich würde mal die Funktion für den Flächeninhalt ableiten und gleich null setzen. Da die nach unten geöffnete Parabel immer nur ein Maximum hat, sollte das dein x ergeben, welches den maximalen Flächeninhalt liefert.

Solltest du die Ableitung noch nicht kennen, kannst du auch mit Mitteln der Haupt- und Realschule den Scheitelpunkt der Parabel bestimmen.

Allerdings scheinst du auch verstanden zu haben, was das Kreuzprodukt ist.

Ich komme auf den Scheitelpunkt bei S(7.5 | 20.0625)

Bitte selber nachrechnen.

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Jedoch verstehe ich die Letzte Frage noch nicht oder kann sie mit meinem Wissen noch nicht lösen.
"Für welche Belegung von x wird der Flächeninhalt eines Dreiecks maximal? Berechne A_max"

Na ja - Du solltest zumindest wissen, ob Du die Frage selbst verstehst. Dazu muss man noch nicht wissen, weiß man es löst!

Schau Dir dazu mal das BIld hier an.

Durch Verschieben des Punktes $B$ mit der Maus ändert sich auch Punkt $C$, dessen X-Koordinate das $x$ für die Flächenberechnung $A(x)$ ist:$$A(x)= -0,25x^2 +3,75x +6$$Von $x=1$ ausgehend wächst die Fläche des Dreiecks an und erreicht dann bei $x=7,5$ ein Maximum.

Der Graph der Kurve $A$ über $x$ ist eine nach unten offene Parabel, die ich oben rot dargestellt habe.

Das Maximum $A_{\max}$ kann man berechnen indem man $A(x)$ ableitet und die Ableitung zu 0 setzt$$A'(x)= -0,5x_{\text{opt}} + 3,75 = 0 \implies x_{\text{opt}}= \frac{3,75}{0,5} = 7,5$$oder die Funktion $A(x)$ in die Scheitelpunktform umwandelt$$\begin{aligned} A(x) &= -0,25x^2 +3,75x +6 \\ &= -\frac{1}{4}\left(x^2 -15x - 24\right) \\ &= -\frac{1}{4}\left(x^2 -15x +(7,5)^2 - (7,5)^2- 24\right) \\ &= -\frac{1}{4}\left((x^2 -7,5)^2 - 80,25\right) \\ &= -\frac{1}{4}\left(x^2 -{\color{red}7,5}\right)^2 + 20,0625 \\ \implies x_s &= 7,5 \end{aligned}$$