Zeigen Sie mit Hilfe des Fundamentalsatzes der elementaren Zahlentheorie

Question

Aufgabe:

Der Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie besagt: Jede natürliche Zahl $n>1$ lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben (bis auf die Reihenfolge der Faktoren).

Zeigen Sie mit Hilfe des Fundamentalsatzes der elementaren Zahlentheorie, dass $\sqrt{n}$ irrational für jedes $n \in \mathbb{N}$ mit $n \neq m^{2}$ für irgendein $m \in \mathbb{N}$ ist.

Answer 1

Ist $\frac{p}{q} = \sqrt 2$ mit $p,q\in \mathbb{N}$, dann ist $\frac{p^2}{q^2} = 2$, also $p^2 = 2q^2$ und somit ist $p^2$ durch $2$ teilbar. Also ist auch $p$ durch $2$ teilbar. Sei $p = 2r$. Dann ist $(2r)^2 = 2q^2$, also $4r^2 = 2q^2$ und somit $2r^2 = q^2$. Also ist auch $q^2$ durch $2$ teilbar und somit ist $q$ durch $2$ teilbar. Man kann den Bruch $\frac{p}{q}$ dehalb mit $2$ kürzen.

Lies dir diesen Beweis für die Irrationalität von $\sqrt 2$ genau durch.

Identifiziere die Stellen, an der der Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie verwendet wird.

Verallgemeinere den Beweis auf die in der Aufgabenstellung genannten Fälle.