Zeigen Sie mit Hilfe des Fundamentalsatzes der elementaren Zahlentheorie

Question

Aufgabe:

Der Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie besagt: Jede natürliche Zahl \( n>1 \) lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben (bis auf die Reihenfolge der Faktoren).

Zeigen Sie mit Hilfe des Fundamentalsatzes der elementaren Zahlentheorie, dass \( \sqrt{n} \) irrational für jedes \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \neq m^{2} \) für irgendein \( m \in \mathbb{N} \) ist.

Answer 1

Ist \(\frac{p}{q} = \sqrt 2\) mit \(p,q\in \mathbb{N}\), dann ist \(\frac{p^2}{q^2} = 2\), also \(p^2 = 2q^2\) und somit ist \(p^2\) durch \(2\) teilbar. Also ist auch \(p\) durch \(2\) teilbar. Sei \(p = 2r\). Dann ist \((2r)^2 = 2q^2\), also \(4r^2 = 2q^2\) und somit \(2r^2 = q^2\). Also ist auch \(q^2\) durch \(2\) teilbar und somit ist \(q\) durch \(2\) teilbar. Man kann den Bruch \(\frac{p}{q}\) dehalb mit \(2\) kürzen.

Lies dir diesen Beweis für die Irrationalität von \(\sqrt 2\) genau durch.

Identifiziere die Stellen, an der der Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie verwendet wird.

Verallgemeinere den Beweis auf die in der Aufgabenstellung genannten Fälle.