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Aufgabe:

Die Wartezeit beim Anrufen der Service Hotline ist normalverteilt mit einer Standardabweichung von 1 Minute und 15 Sekunden.

Untersuchen Sie, ob es ein Zeitintervall mit einer Länge von zwei Minuten gibt, in dem die Wartezeit eines zufällig ausgewählten Anrufers mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60 % liegt.


Problem/Ansatz:

Ich versuche gerade für meine Klausur zu lernen und diese Aufgabe verstehe ich überhaupt nicht. Ich hätte jetzt für das Integral als Grenzen a= x und b= x+2 eingegeben, dann Standardabweichung und Erwartungswert von Phi. Dann habe ich die Funktion mit 0,6 gleichgesetzt. Ich habe als Ergebnis ein Intervall rausbekommen. Dies war aber komplett falsch, da in der Lösung steht, dass es ein solches Intervall nicht gibt.

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Hilft das?..............................

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Man kann das auch theoretisch ableiten. Die Wahrscheinlichkeit das die Wartezeit in einem Intervall \( [ x ; x+h ] \) liegt kann so berechnet werden

$$  P(x) =  F(x+h)-F(x) $$ wobei \( F\) die Verteilungsfunktion der Normalverteilung ist.

Von der Funktion \( P(x) \) kann der Extremwert berechnet werden in dem die erste Ableitung Null gesetzt wird und die Gleichung nach \( x \) aufgelöst wird. Also

$$ P'(x) = \varphi(x+h) -\varphi(x) $$ und \( \varphi(x) \) ist die Dichte der Normalverteilung.

Auflösen nach \( x \) ergibt $$ x_0 = \mu - \frac{h}{2} $$ als kritischen Wert.

Nun die zweite Ableitung berechnen, ergibt

$$ P''(x) = \varphi'(x+h) - \varphi'(x) $$ und

$$ P''(x_0) = -\frac{1}{ \sqrt{2 \pi} \sigma }  e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{h}{2 \sigma} \right)^2 } \frac{h}{\sigma^2} < 0 $$

Also liegt bei \( x_0 \) ein Maximum vor.

Mit den von Dir gegebenen Werten ergibt sich $$ x_0 = -45 $$

D.h. rechts und links von \( x_0 \) ist die Funktion \( P(x) \) monoton fallend. D.h. der größte Wert wird bei \( x = 0 \) angenommen.

$$ P(0) = F(h) - F(0) = 0.559 $$

Also gibt es kein Intervall mit einer Länge von 120 Sekunden, in dem die Wartezeit eines zufällig ausgewählten Anrufers mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60 % liegt.

Dankeschön! Mit der zweiten Erklärung habe ich es verstanden

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